Calcule os limites infinitos
k) lim x 1 x^3x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comportamento da função f(x)=dfracx^3x^2-1 quando x se aproxima de 1. O conteúdo aqui é limites infinitos, ou seja, identificar uma assíntota vertical em x=1 e usar análise de sinal para ver se vai a +infty ou -infty.

Passo 2

Primeiro, note que no ponto x=1 o denominador se anula e o numerador não:
x^2-1=(x-1)(x+1)
Isso significa que perto de x=1 teremos um limite infinito, pois denominador tende a zero e numerador tende a 1.

Passo 3

Para determinar o sinal do infinito, analisamos separadamente os limites laterais:
Quando xto1^-, temos
  • Numerador: x^3to1^3=1>0.
  • Fator (x+1)to2>0.
  • Fator (x-1) é negativo (pois x<1).
    Logo o denominador é negativo e a fração tende a -infty.
    Quando xto1^+, temos
  • Numerador: ainda positivo.
  • Ambos (x+1) e (x-1) são positivos.
    Então o denominador é positivo e a fração tende a +infty.

Resposta

limxto1^-x^3x^2-1=-infty,limxto1^+x^3x^2-1=+infty.

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