Calcule os limites infinitos
q)
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Passo 1
O enunciado pede o cálculo de um limite que explode quando o denominador tende a zero. O conteúdo principal é análise de limites infinitos, e vamos usar a aproximação de uma função racional quando o numerador tende a uma constante não nula e o denominador a zero.
Passo 2
Primeiro vamos avaliar o valor do numerador em x = -1 para ver se ele se anula ou tende a uma constante. Calculamos
Em x = -1 temos
Logo o numerador tende a -1, uma constante não nula, quando x → -1.
Passo 3
Agora olhamos o denominador
e vemos que ele tende a zero quando x → -1. Como o numerador tende a um valor fixo (-1) e o denominador a zero, o quociente tende a infinito. Mas o sinal do infinito depende de como x se aproxima de -1.
Passo 4
Para determinar o sinal, analisamos x → -1^- (pela esquerda) e x → -1^+ (pela direita):
- Se x = -1 - ε com ε>0 pequeno, então x+1 = -ε < 0 e o numerador ≈ -1 < 0. Assim
- Se x = -1 + ε com ε>0 pequeno, então x+1 = +ε > 0 e numerador ≈ -1 < 0. Assim
Passo 5
Como os limites laterais são diferentes (um é +∞ e o outro é -∞), o limite bilateral não existe.
Resposta
lim_{x→-1^-} \frac{x^2 - x - 3}{x + 1} = +∞, lim_{x→-1^+} \frac{x^2 - x - 3}{x + 1} = -∞; portanto o limite bilateral não existe.