Calcule os limites infinitos
q) lim x -1 x^2-x-3x+1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de um limite que explode quando o denominador tende a zero. O conteúdo principal é análise de limites infinitos, e vamos usar a aproximação de uma função racional quando o numerador tende a uma constante não nula e o denominador a zero.

Passo 2

Primeiro vamos avaliar o valor do numerador em x = -1 para ver se ele se anula ou tende a uma constante. Calculamos
numerador = x^2 - x - 3
Em x = -1 temos
(-1)^2 - (-1) - 3 = 1 + 1 - 3 = -1
Logo o numerador tende a -1, uma constante não nula, quando x → -1.

Passo 3

Agora olhamos o denominador
denominador = x + 1
e vemos que ele tende a zero quando x → -1. Como o numerador tende a um valor fixo (-1) e o denominador a zero, o quociente tende a infinito. Mas o sinal do infinito depende de como x se aproxima de -1.

Passo 4

Para determinar o sinal, analisamos x → -1^- (pela esquerda) e x → -1^+ (pela direita):
  • Se x = -1 - ε com ε>0 pequeno, então x+1 = -ε < 0 e o numerador ≈ -1 < 0. Assim
numeradordenominador approx -1-varepsilon = +infty
  • Se x = -1 + ε com ε>0 pequeno, então x+1 = +ε > 0 e numerador ≈ -1 < 0. Assim
numeradordenominador approx -1+varepsilon = -infty

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes (um é +∞ e o outro é -∞), o limite bilateral não existe.

Resposta

lim_{x→-1^-} \frac{x^2 - x - 3}{x + 1} = +∞, lim_{x→-1^+} \frac{x^2 - x - 3}{x + 1} = -∞; portanto o limite bilateral não existe.

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