Calcule os limites infinitos
x) lim x -1 x^3+3 x^2-xx^3-x^2+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comportamento da função racional f(x)=x^3+3x^2-xx^3-x^2+2 quando xto -1. O conteúdo é limite infinito de função racional, e vamos precisar avaliar o numerador e o denominador em x=-1, fatorar o denominador para estudar o sinal e obter os limites laterais.

Passo 2

Primeiro, avaliamos numerador e denominador em x=-1 para ver se temos forma indeterminada ou divergência imediata. Substituindo:
numerador = (-1)^3 + 3(-1)^2 - (-1) = -1 + 3 + 1 = 3
denominador = (-1)^3 - (-1)^2 + 2 = -1 - 1 + 2 = 0
Como o numerador tende a 3neq 0 e o denominador tende a 0, o limite será infinito (não há forma indeterminada 0/0).

Passo 3

Agora, para decidir o sinal do infinito, fatoramos o denominador por divisão sintética ou inspeção. Obtemos:
x^3-x^2+2 = (x+1)(x^2-2x+2)
O trinômio x^2-2x+2 é sempre positivo (discriminante b^2-4ac=4-8<0), então o sinal de x^3-x^2+2 é o mesmo de x+1.

Passo 4

Para xto -1^-, temos x+1<0, logo o denominador tende a 0^- e a fração tende a -infty.
Para xto -1^+, temos x+1>0, logo o denominador tende a 0^+ e a fração tende a +infty.

Resposta

limxto -1^-f(x)=-infty e limxto -1^+f(x)=+infty

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