Calcule os limites infinitos
n) lim x 3 x^2-4 xx^2-x-6

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da função racional f(x)=x^2-4xx^2-x-6 quando x se aproxima de 3. O conteúdo envolvido é de limites infinitos e análise de sinal de funções racionais; vamos precisar fatorar numerador e denominador e estudar o comportamento da função perto de x=3.

Passo 2

Primeiro, fatoramos numerador e denominador para ver zeros e simplificar a análise. Numerador:
x^2-4x = x(x-4)
Denominador:
x^2-x-6 = (x-3)(x+2)
Com a fatoração, fica
f(x)=x(x-4)(x-3)(x+2)

Passo 3

Observamos que em x=3 o numerador vale 3(3-4)=-3, que é não nulo, enquanto o denominador zera simples em x=3. Isso indica um polo simples em x=3, gerando limites infinitos nas laterais.

Passo 4

Agora, vamos fazer a análise de sinal de f(x) para x se aproximando de 3 pela esquerda ( xto3^-) e pela direita ( xto3^+).
Para x perto de 3, o fator x+2 é positivo (pois 3+2=5>0). O sinal de x-3 é negativo se x<3 e positivo se x>3. O numerador em xapprox3 é -3, que é negativo e não muda de sinal próximo a 3.

Passo 5

— Quando xto3^-: denom. (x-3)(x+2) é (negativo)·(positivo)=negativo; numerador é negativo. Assim f(x)approxnegneg=positivo, e como o valor absoluto do denominador vai a zero, o limite é +∞.
— Quando xto3^+: denom. é (positivo)·(positivo)=positivo; numerador continua negativo. Logo f(x)approxnegpos=negativo, e o limite é -∞.

Passo 6

Como os dois limites laterais são diferentes (um vai a +∞ e outro a -∞), o limite bilateral em x=3 não existe de forma finita.

Resposta

lim_{x\to3^-} \frac{x{2}-4x}{x{2}-x-6} = +\infty, lim_{x\to3^+} \frac{x{2}-4x}{x{2}-x-6} = -\infty, portanto o limite bilateral não existe.

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