Calcule os limites infinitos
n)
n)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite da função racional
quando
se aproxima de 3. O conteúdo envolvido é de limites infinitos e análise de sinal de funções racionais; vamos precisar fatorar numerador e denominador e estudar o comportamento da função perto de
.
Passo 2
Primeiro, fatoramos numerador e denominador para ver zeros e simplificar a análise. Numerador:
Denominador:
Com a fatoração, fica
Passo 3
Observamos que em
o numerador vale
, que é não nulo, enquanto o denominador zera simples em
. Isso indica um polo simples em
, gerando limites infinitos nas laterais.
Passo 4
Agora, vamos fazer a análise de sinal de
para
se aproximando de 3 pela esquerda (
) e pela direita (
).
Para perto de 3, o fator
é positivo (pois
). O sinal de
é negativo se
e positivo se
. O numerador em
é
, que é negativo e não muda de sinal próximo a 3.
Para
Passo 5
— Quando
: denom.
é (negativo)·(positivo)=negativo; numerador é negativo. Assim
, e como o valor absoluto do denominador vai a zero, o limite é +∞.
— Quando : denom. é (positivo)·(positivo)=positivo; numerador continua negativo. Logo
, e o limite é -∞.
— Quando
Passo 6
Como os dois limites laterais são diferentes (um vai a +∞ e outro a -∞), o limite bilateral em
não existe de forma finita.
Resposta
lim_{x\to3^-} \frac{x{2}-4x}{x{2}-x-6} = +\infty, lim_{x\to3^+} \frac{x{2}-4x}{x{2}-x-6} = -\infty, portanto o limite bilateral não existe.