Seja z=sen x+sen y+cos (x+y), com(x, y) in[0, pi / 2]^2. Determine o(s) ponto(s) de máximo e mínimo locais e globais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função , onde e estão no intervalo . Nosso objetivo é encontrar os pontos onde essa função atinge seus valores máximos e mínimos, tanto locais quanto globais. Para fazer isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais e análise de extremos de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de partial zpartial x = cos x - sin(x + y) em relação a partial zpartial y = cos y - sin(x + y) e . As derivadas parciais nos ajudam a identificar onde a função tem inclinações horizontais, ou seja, possíveis pontos de máximo ou mínimo.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, ou seja, onde podem ocorrer os extremos, igualamos as derivadas parciais a zero:
cos x - sin(x + y) = 0 (1)
cos y - sin(x + y) = 0 (2)

Passo 4

Subtraindo a equação (2) da equação (1), temos:
cos x - cos y = 0
Isso implica que . No intervalo , a função cosseno é decrescente, o que significa que .

Passo 5

Com cos x - sin(2x) = 0 , substituímos na equação (1):
cos x = sin(2x)
Isso nos dá:
cos x = 2 sin x cos x
Usando a identidade trigonométrica 1 = 2 sin x , temos:
sin x = 12
Se x = pi6 (o que é verdade no intervalo ), podemos dividir ambos os lados por :
Então, .

Passo 6

Agora temos um ponto crítico em partial^2 zpartial x^2 = -sin x - cos(x + y) . Para determinar se é máximo ou mínimo, usamos a segunda derivada ou o teste da derivada segunda.
As segundas derivadas são:
partial^2 zpartial y^2 = -sin y - cos(x + y)
partial^2 zpartial x partial y = -cos(x + y)
D = partial^2 zpartial x^2 partial^2 zpartial y^2 - (partial^2 zpartial x partial y)^2
O discriminante partial^2 zpartial x^2 = -sin(pi6) - cos(pi3) = -12 - 12 = -1 é dado por:
partial^2 zpartial y^2 = -sin(pi6) - cos(pi3) = -1
Calculando em partial^2 zpartial x partial y = -cos(pi3) = -12 :
D = (-1)(-1) - (-12)^2 = 1 - 14 = 34 > 0
Então:
Como e , o ponto é um máximo local.

Passo 7

Além dos pontos críticos internos, precisamos verificar as bordas do domínio z = sin 0 + sin 0 + cos(0 + 0) = 0 + 0 + 1 = 1 para possíveis máximos ou mínimos globais.
Vamos avaliar z = sin(pi2) + sin 0 + cos(pi2 + 0) = 1 + 0 + 0 = 1 nos cantos do domínio:
  1. z = sin 0 + sin(pi2) + cos(0 + pi2) = 0 + 1 + 0 = 1 :
z = sin(pi2) + sin(pi2) + cos(pi2 + pi2) = 1 + 1 + cos pi = 2 -1 = 1
  1. z = sin(pi6) + sin(pi6) + cos(pi3) = 12 + 12 + 12 = 32 :
  1. :
  1. :
Também, no ponto crítico interno :

Resposta

Os pontos de máximo e mínimo globais da função no intervalo são:
  • Máximo global em com .
  • Mínimos globais nos cantos do domínio: , , e , cada um com .

Exercícios relacionados