Seja
,
. Determine
ponto(s) de máximo e mínimo locais e globais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
, onde
e
estão no intervalo
. Nosso objetivo é encontrar os pontos onde essa função atinge seus valores máximos e mínimos, tanto locais quanto globais. Para fazer isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais e análise de extremos de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a identificar onde a função tem inclinações horizontais, ou seja, possíveis pontos de máximo ou mínimo.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, ou seja, onde podem ocorrer os extremos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Passo 4
Subtraindo a equação (2) da equação (1), temos:
Isso implica que
. No intervalo
, a função cosseno é decrescente, o que significa que
.
Passo 5
Com
, substituímos na equação (1):
Isso nos dá:
Usando a identidade trigonométrica
, temos:
Se
(o que é verdade no intervalo
), podemos dividir ambos os lados por
:
Então,
.
Passo 6
Agora temos um ponto crítico em
. Para determinar se é máximo ou mínimo, usamos a segunda derivada ou o teste da derivada segunda.
As segundas derivadas são:
O discriminante
é dado por:
Calculando em
:
Então:
Como
e
, o ponto é um máximo local.
Passo 7
Além dos pontos críticos internos, precisamos verificar as bordas do domínio
para possíveis máximos ou mínimos globais.
Vamos avaliar
nos cantos do domínio:
-
:
-
:
-
:
-
:
Também, no ponto crítico interno
:
Resposta
Os pontos de máximo e mínimo globais da função
no intervalo
são:
- Máximo global em
com . - Mínimos globais nos cantos do domínio:
, , e , cada um com .