Calcule os limites infinitos
o) lim x 12 2 x^2+5 x-12 x^2-5 x+2

Passo 1

O problema pede para calcular o comportamento da função f(x)=2x^2+5x-12x^2-5x+2 quando x se aproxima de tfrac12. O conteúdo envolve limite com indeterminação do tipo número não nulo0úã, levando a limites infinitos. Vamos precisar de fatoração do denominador e análise de sinal para os dois lados de x=tfrac12.

Passo 2

Ao substituir x=tfrac12 diretamente em f(x), obtemos no numerador:
2l(tfrac12r)^2+5l(tfrac12r)-1=tfrac12+2.5-1=2
e no denominador:
2l(tfrac12r)^2-5l(tfrac12r)+2=0.5-2.5+2=0
Como o numerador tende a 2 (não nulo) e o denominador tende a 0, temos um limite infinito, mas precisamos ver o sinal.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador para entender a mudança de sinal em torno de x=tfrac12:
2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2)
Perto de x=tfrac12, o fator x-2 é sempre negativo (pois tfrac12-2<0), e o fator 2x-1 muda de sinal:
- Se x, então 2x-1<0 e (2x-1)(x-2)>0.
- Se x>tfrac12, então 2x-1>0 e (2x-1)(x-2)<0.

Passo 4

Como o numerador é positivo próximo de x=tfrac12 (tende a 2), concluímos:
  • limxtotfrac12^-f(x)=+infty
  • limxtotfrac12^+f(x)=-infty.
    Portanto, o limite bilateral não existe, mas os limites laterais são infinitos conforme acima.

Resposta

limxtotfrac12^-2x^2+5x-12x^2-5x+2=+infty, limxtotfrac12^+2x^2+5x-12x^2-5x+2=-infty

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