Calcule os limites infinitos
y) lim x 3 -6 x-9x^3-8 x-3

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o comportamento do limite limxto 3 -6x - 9x^3 -8x -3. O assunto é limites infinitos de funções racionais, então vamos precisar avaliar o valor do numerador e do denominador em x=3 e ver como o sinal de cada um se comporta em torno desse ponto.

Passo 2

Primeiro, calculo o numerador e o denominador em x=3. No numerador temos -6cdot3 - 9 = -18 -9 = -27. No denominador temos 3^3 -8cdot3 -3 = 27 -24 -3 = 0. Como o numerador é distinto de zero e o denominador vai a zero, isso indica que o limite será infinito (a função dispara para pminfty). Mas para saber se é +infty ou -infty, preciso analisar os sinais.

Passo 3

Para analisar o sinal do denominador f(x)=x^3 -8x -3 perto de x=3, observo que f'(x)=3x^2 -8, então f'(3)=3cdot9 -8=27-8=19>0. Isso significa que f(x) é crescente em torno de x=3. Como f(3)=0, para x<3 temos f(x)<0 e para x>3 temos f(x)>0. Já o numerador -6x-9 varia continuamente e em x=3 é -27, então permanece negativo pouco antes e depois de 3.

Passo 4

Com esses sinais, para xto 3^- numerador é negativo e denominador é negativo, então o quociente -6x-9x^3 -8x -3 é positivo e dispara para +infty. Para xto3^+ numerador negativo e denominador positivo, o quociente tende a -infty.

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes ( +infty à esquerda e -infty à direita), o limite bidirecional limxto3 não existe.

Resposta

O limite não existe, pois limxto3^- = +infty e limxto3^+ = -infty.

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