Calcule os limites.
e) lim x 0 raiz1+x-raiz-xx

Passo 1

A questão pede o cálculo do limite limxto0raiz1+x-raiz-xx. O conteúdo principal é análise de limites envolvendo raízes e formas indeterminadas para x próximo de zero. Vamos usar expansão em série (desenvolvimento de Taylor) e atento ao domínio de raiz-x.

Passo 2

Primeiro, note que a raiz raiz-x só está definida para x<=0. Logo o limite existe apenas como limite lateral pela esquerda, isto é, xto0^-. Podemos reescrever x=-t com t>0 pequeno, e estudar tto0^+.

Passo 3

Em termos de t, temos: raiz1+x=raiz1-t e raiz-x=raizt. Para t muito pequeno, expandimos em Taylor:
raiz1-t=1-t2+O(t^2), raizt=t^1/2

Passo 4

Substituindo no quociente original:
$$\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{-x}}{x}=\frac{(1-\tfrac{t}{2}+O(t^2)) - t^{1/2}}{-t}.
$$

Passo 5

Agora separamos os termos principais:
$$\frac{1-\tfrac{t}{2}-t^{1/2}}{-t}= -\frac{1}{t} + \frac{t^{1/2}}{t} + \frac{1}{2} + O(t).
$$

Passo 6

Como tto0^+, temos 1/tto+infty e t^1/2/t=1/raiztto+infty. O termo dominante é -1/t, que tende a -infty). Portanto o quociente diverge para -infty).

Resposta

O limite diverge para -∞.

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