Calcule os limites.
e)
e)
Passo 1
A questão pede o cálculo do limite
. O conteúdo principal é análise de limites envolvendo raízes e formas indeterminadas para
próximo de zero. Vamos usar expansão em série (desenvolvimento de Taylor) e atento ao domínio de
.
Passo 2
Primeiro, note que a raiz
só está definida para
. Logo o limite existe apenas como limite lateral pela esquerda, isto é,
. Podemos reescrever
com
pequeno, e estudar
.
Passo 3
Em termos de
, temos:
e
. Para
muito pequeno, expandimos em Taylor:
Passo 4
Substituindo no quociente original:
$$\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{-x}}{x}=\frac{(1-\tfrac{t}{2}+O(t^2)) - t^{1/2}}{-t}.
$$
Passo 5
Agora separamos os termos principais:
$$\frac{1-\tfrac{t}{2}-t^{1/2}}{-t}= -\frac{1}{t} + \frac{t^{1/2}}{t} + \frac{1}{2} + O(t).
$$
Passo 6
Como
, temos
e
. O termo dominante é
, que tende a
. Portanto o quociente diverge para
.
Resposta
O limite diverge para -∞.