Calcule os limites em [-infty, infty], apresentando apenas os resultados finais. (2pts.) lim x (0^+)(3 x)^4 / x= square

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite de quando se aproxima de (ou seja, indo para 0 pelo lado positivo). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites envolvendo funções exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão . Quando se aproxima de 0 pelo lado positivo, também se aproxima de 0, e cresce sem limite, ou seja, tende a . Então, estamos lidando com uma forma do tipo , que geralmente tende a 0, mas vamos confirmar isso passo a passo.

Passo 3

Para facilitar o cálculo, vamos usar logaritmos. Se chamarmos ln y = 4x cdot ln(3x) , podemos aplicar o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, nosso objetivo é encontrar e depois exponentiar para achar .

Passo 4

Vamos analisar ln(3x) = ln 3 + ln x . Isso pode ser separado usando propriedades dos logaritmos:
ln y = 4x cdot (ln 3 + ln x) = 4 ln 3x + 4 ln xx
Substituindo de volta na equação:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de cada termo separadamente:
  1. limx to 0^+ ln y = +infty + (-infty) : Aqui, é uma constante positiva, e está indo para 0 pelo lado positivo, então esse termo tende a .
  2. : Sabemos que tende a quando , então esse termo tende a .
Combinar esses dois resultados:
Isso é uma forma indefinida, então precisamos reavaliar nossa abordagem.

Passo 6

Vamos refazer o passo 3 considerando a dominância dos termos. Note que limx to 0^+ ln y = -infty tende a muito mais rapidamente que tende a . Portanto, o termo domina e tende a .
Assim:

Passo 7

Agora que sabemos que y = e^ln y implies limx to 0^+ y = e^-infty = 0 , podemos encontrar o limite de usando a função exponencial:

Resposta

O limite é igual a .

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