Calcule os limites em
, apresentando apenas os resultados finais. (2pts.)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite de
quando
se aproxima de
(ou seja, indo para 0 pelo lado positivo). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites envolvendo funções exponenciais e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expressão
. Quando
se aproxima de 0 pelo lado positivo,
também se aproxima de 0, e
cresce sem limite, ou seja, tende a
. Então, estamos lidando com uma forma do tipo
, que geralmente tende a 0, mas vamos confirmar isso passo a passo.
Passo 3
Para facilitar o cálculo, vamos usar logaritmos. Se chamarmos
, podemos aplicar o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, nosso objetivo é encontrar
e depois exponentiar para achar
.
Passo 4
Vamos analisar
. Isso pode ser separado usando propriedades dos logaritmos:
Substituindo de volta na equação:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de cada termo separadamente:
-
: Aqui, é uma constante positiva, e está indo para 0 pelo lado positivo, então esse termo tende a . -
: Sabemos que tende a quando , então esse termo tende a .
Combinar esses dois resultados:
Isso é uma forma indefinida, então precisamos reavaliar nossa abordagem.
Passo 6
Vamos refazer o passo 3 considerando a dominância dos termos. Note que
tende a
muito mais rapidamente que
tende a
. Portanto, o termo
domina e tende a
.
Assim:
Passo 7
Agora que sabemos que
, podemos encontrar o limite de
usando a função exponencial:
Resposta
O limite é igual a
.