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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a soma infinita:
Esse problema envolve séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão constante entre si. Para resolver, vamos precisar lembrar da fórmula da soma de uma série geométrica infinita.
Passo 2
Vamos separar a soma original em duas séries geométricas diferentes:
Agora, vamos resolver cada uma dessas somas individualmente.
Passo 3
Primeiro, consideramos a série:
Aqui, a primeira termo
é
e a razão
é também
, já que cada termo é metade do anterior.
A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
Aplicando isso, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda série:
Aqui, o primeiro termo
é
e a razão
é também
, pois cada termo é
do anterior.
Usando a mesma fórmula da série geométrica infinita:
Passo 5
Agora que temos as duas somas individuais, vamos subtrair a segunda da primeira, conforme a expressão original:
Resposta
A soma infinita é igual a
.