Mostre que a equação 10^x = x^1000 tem ao menos duas soluções positivas. (2pts)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação . Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e funções de potência. Para mostrar que essa equação tem pelo menos duas soluções positivas, vamos analisar o comportamento dessas funções e encontrar onde elas se cruzam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções envolvidas:
  • é uma função exponencial crescente.
  • é uma função de potência que também cresce, mas de forma diferente.
Queremos encontrar os valores de onde , ou seja, onde as duas funções se encontram.

Passo 3

Vamos analisar os valores de próximos a 0 e para valores muito grandes de :
  • Quando é próximo de 0:
    • se aproxima de 1, porque qualquer número a potência é 1.
    • se aproxima de 0, já que é pequeno e elevado a uma potência muito grande.
    Nesse caso, .
  • Quando é muito grande:
    • cresce muito rapidamente.
    • também cresce rápido, mas comparando as taxas de crescimento, a exponencial cresce mais rápido que qualquer potência de .
    Portanto, para grande, .

Passo 4

Agora, vamos verificar entre esses extremos. Considerando que em :
Aqui, .
E para :
  • é um número muito grande.
  • também é extremamente grande, mas mesmo assim, a função ultrapassa em determinado ponto.
Isso sugere que existe um ponto onde cresce mais rápido que , e depois, para ainda maior, passa a crescer novamente mais rápido.

Passo 5

Pelo Teorema de Bolzano, que afirma que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Aplicando isso à diferença :
  • Entre e , vai de positivo para positivo.
  • Entre e algum , a diferença pode mudar de positiva para negativa.
  • Depois, para maior que , muda de negativo para positivo novamente.
Isso indica que há pelo menos duas mudanças de sinal, ou seja, pelo menos duas soluções positivas para a equação .

Resposta

A equação possui pelo menos duas soluções positivas.

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