Calcule os limites dos itens abaixo.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{2}-1\right) e^{-x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to+\infty}\left(x^{2}-1\right)e^{-x^{2}}.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x)=\left(x^{2}-1\right)e^{-x^{2}}.
  • O interesse é no comportamento quando x tende para +\infty.
    O que precisamos encontrar: o valor numérico do limite acima.

Passo 2

Reescrevemos o produto como uma razão, que facilita a aplicação de regras de cálculo de limites:
\left(x^{2}-1\right)e^{-x^{2}}=\frac{x^{2}-1}{e^{x^{2}}}.
Ao fazermos x\to+\infty temos \,x^{2}-1\to+\infty e e^{x^{2}}\to+\infty, portanto a forma é uma indeterminação do tipo \displaystyle\frac{\infty}{\infty}. Isso nos permite usar a Regra de L’Hôpital (quando aplicável).

Passo 3

Enunciado (em palavras) da Regra de L’Hôpital que vou usar: se \lim_{x\to a} \dfrac{g(x)}{h(x)} é da forma \dfrac{\infty}{\infty} (ou \dfrac{0}{0}) e g,h são diferenciáveis perto de a com h'(x)\neq0 perto de a, então
\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)}=\lim_{x\to a}\frac{g'(x)}{h'(x)}
sempre que o limite do lado direito exista. Aqui podemos aplicar essa regra com g(x)=x^{2}-1 e h(x)=e^{x^{2}}, pois ambos são diferenciáveis e a forma é \infty/\infty quando x\to+\infty.

Passo 4

Calculamos as derivadas necessárias:
  • g'(x)=\dfrac{d}{dx}\big(x^{2}-1\big)=2x.
  • h'(x)=\dfrac{d}{dx}\big(e^{x^{2}}\big)=e^{x^{2}}\cdot 2x (regra da cadeia: derivada de e^{u} é e^{u}u', com u=x^{2} e u'=2x).
Pelo item anterior,
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}-1}{e^{x^{2}}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{2x\,e^{x^{2}}}.
Para x>0 (e estamos indo para +\infty, então podemos considerar x>0 suficientemente grande), podemos cancelar 2x em numerador e denominador, obtendo
\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{2x\,e^{x^{2}}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{e^{x^{2}}}.

Passo 5

Agora avaliamos o limite final. Quando x\to+\infty temos e^{x^{2}}\to+\infty, portanto
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{e^{x^{2}}}=0.
Logo o limite original vale 0.

Passo 6

Comentário adicional (didático e útil para a prova): o resultado também pode ser visto sem L’Hôpital pela ideia geral de que exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios. Em particular, para qualquer inteiro n\ge0 vale
\lim_{x\to+\infty} x^{n}e^{-x^{2}}=0,
pois e^{x^{2}} domina x^{n} quando x\to\infty. Isso serve como um atalho: polinômio dividido por e^{x^{2}} tende a zero.

Resposta

0

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