Calcule os limites dos itens abaixo.
.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O interesse é no comportamento quando
tende para .
O que precisamos encontrar: o valor numérico do limite acima.
Passo 2
Reescrevemos o produto como uma razão, que facilita a aplicação de regras de cálculo de limites:
Ao fazermos
temos
e
, portanto a forma é uma indeterminação do tipo
. Isso nos permite usar a Regra de L’Hôpital (quando aplicável).
Passo 3
Enunciado (em palavras) da Regra de L’Hôpital que vou usar: se
é da forma
(ou
) e
são diferenciáveis perto de
com
perto de
, então
sempre que o limite do lado direito exista. Aqui podemos aplicar essa regra com
e
, pois ambos são diferenciáveis e a forma é
quando
.
Passo 4
Calculamos as derivadas necessárias:
-
-
(regra da cadeia: derivada de é , com e ).
Pelo item anterior,
Para
(e estamos indo para
, então podemos considerar
suficientemente grande), podemos cancelar
em numerador e denominador, obtendo
Passo 5
Agora avaliamos o limite final. Quando
temos
, portanto
Logo o limite original vale
.
Passo 6
Comentário adicional (didático e útil para a prova): o resultado também pode ser visto sem L’Hôpital pela ideia geral de que exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios. Em particular, para qualquer inteiro
vale
pois
domina
quando
. Isso serve como um atalho: polinômio dividido por
tende a zero.