Exercício 16 - Determinar o valor das constantes
e
tais que
Passo 1
O enunciado pede: determinar
e
tais que
Informações dadas:
- A expressão dependente de
é . - As incógnitas a determinar são
e . - O limite, quando
, deve ser igual a .
Passo 2
Vamos simplificar a parte racional
fazendo divisão polinomial (ou observando multiplicação):
multiplicando por
obtém-se
. Subtraindo desse produto de
fica o resto
. Portanto
multiplicando
Isto é uma reescrita exata, útil para separar a parte de ordem maior.
Passo 3
Substituindo essa identidade na expressão do limite obtemos
Agora simplificamos termos semelhantes:
Passo 4
Analisemos o comportamento quando
.
Primeiro, calculemos
Primeiro, calculemos
Dividindo numerador e denominador por
(válido para
) temos
Como
quando
, segue que
Passo 5
Retornando à expressão simplificada
já sabemos que a última parcela tende a
. Portanto o comportamento assintótico é dominado por
. Para que o limite total seja um número finito (aqui especificamente
), é necessário que o termo de ordem
desapareça; caso contrário, se
, então
tende a
ou
e o limite não seria
. Logo devemos ter
Passo 6
Com
, a expressão fica
Tomando o limite quando
e usando que
, obtemos
Como o enunciado exige que esse limite seja
, segue que