Exercício 16 - Determinar o valor das constantes m e n tais que
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(m x+n-\frac{x^{3}}{x^{2}+1}\right)=0 .

Passo 1

O enunciado pede: determinar m e n tais que
\lim_{x\to+\infty}\left(mx+n-\frac{x^{3}}{x^{2}+1}\right)=0.
Informações dadas:
  • A expressão dependente de x é mx+n-\dfrac{x^{3}}{x^{2}+1}.
  • As incógnitas a determinar são m e n.
  • O limite, quando x\to+\infty, deve ser igual a 0.

Passo 2

Vamos simplificar a parte racional \dfrac{x^{3}}{x^{2}+1} fazendo divisão polinomial (ou observando multiplicação):
multiplicando x^{2}+1 por x obtém-se x^{3}+x. Subtraindo desse produto de x^{3} fica o resto -x. Portanto
\frac{x^{3}}{x^{2}+1}=x+\frac{-x}{x^{2}+1}=x-\frac{x}{x^{2}+1}.
Isto é uma reescrita exata, útil para separar a parte de ordem maior.

Passo 3

Substituindo essa identidade na expressão do limite obtemos
mx+n-\frac{x^{3}}{x^{2}+1}=mx+n-\left(x-\frac{x}{x^{2}+1}\right).
Agora simplificamos termos semelhantes:
mx+n-\left(x-\frac{x}{x^{2}+1}\right)=(m-1)x+n+\frac{x}{x^{2}+1}.

Passo 4

Analisemos o comportamento quando x\to+\infty.
Primeiro, calculemos
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^{2}+1}.
Dividindo numerador e denominador por x (válido para x>0) temos
\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{x+\dfrac{1}{x}}.
Como x+\dfrac{1}{x}\to+\infty quando x\to+\infty, segue que
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^{2}+1}=0.

Passo 5

Retornando à expressão simplificada
(m-1)x+n+\frac{x}{x^{2}+1},
já sabemos que a última parcela tende a 0. Portanto o comportamento assintótico é dominado por (m-1)x+n. Para que o limite total seja um número finito (aqui especificamente 0), é necessário que o termo de ordem x desapareça; caso contrário, se m-1\neq 0, então (m-1)x tende a +\infty ou -\infty e o limite não seria 0. Logo devemos ter
m-1=0\qquad\Rightarrow\qquad m=1.

Passo 6

Com m=1, a expressão fica
(1-1)x+n+\frac{x}{x^{2}+1}=n+\frac{x}{x^{2}+1}.
Tomando o limite quando x\to+\infty e usando que \dfrac{x}{x^{2}+1}\to0, obtemos
\lim_{x\to+\infty}\left(n+\frac{x}{x^{2}+1}\right)=n+0=n.
Como o enunciado exige que esse limite seja 0, segue que
n=0.

Resposta

m=1
n=0

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