Calcule os limites (justifique a resposta):
\lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\sqrt{x^{2}-1}-x\right)=

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se calcular o limite \lim_{x\to+\infty} x\bigl(\sqrt{x^{2}-1}-x\bigr).
  • A variável tende para +\infty.
  • A expressão envolve uma diferença com raiz quadrada e um fator x multiplicando essa diferença.

Passo 2

Observação sobre a forma indeterminada.
  • Para x\to+\infty temos \sqrt{x^{2}-1}\sim x, então a diferença \sqrt{x^{2}-1}-x tende a 0.
  • Ao mesmo tempo o fator x tende a +\infty.
  • Portanto a expressão tem a aparência de uma forma indeterminada do tipo +\infty\cdot 0. Isso indica que precisamos manipular algebricamente para obter um limite determinado.

Passo 3

Aplicar o truque do conjugado (multiplicar por 1 na forma adequada) para eliminar a diferença de radicais.
  • Multiplicamos a expressão por \dfrac{\sqrt{x^{2}-1}+x}{\sqrt{x^{2}-1}+x}, que é igual a 1:
x\bigl(\sqrt{x^{2}-1}-x\bigr) = x\bigl(\sqrt{x^{2}-1}-x\bigr)\cdot\frac{\sqrt{x^{2}-1}+x}{\sqrt{x^{2}-1}+x}.
  • Desenvolvendo o numerador usando a diferença de quadrados:
\bigl(\sqrt{x^{2}-1}-x\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}-1}+x\bigr) = \bigl(\sqrt{x^{2}-1}\bigr)^{2}-x^{2}=x^{2}-1-x^{2}=-1.
  • Logo
x\bigl(\sqrt{x^{2}-1}-x\bigr) = x\cdot\frac{-1}{\sqrt{x^{2}-1}+x} = -\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}+x}.

Passo 4

Simplificar a expressão dividindo por x (note que x>0 quando x\to+\infty).
  • Escrevendo \sqrt{x^{2}-1} de forma que possamos dividir por x:
\sqrt{x^{2}-1}=x\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}\quad\text{(válido para }x>0\text{)}.á
  • Substituindo na expressão obtemos
-\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}+x} = -\frac{x}{x\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}+x} = -\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}+1}.

Passo 5

Calcular o limite agora que a expressão está simplificada.
  • Quando x\to+\infty vale \dfrac{1}{x^{2}}\to 0.
  • A função \sqrt{\cdot} e as operações algébricas são contínuas onde aplicadas, portanto podemos passar o limite para dentro:
\lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}+1}\right) = -\frac{1}{\sqrt{1-0}+1} = -\frac{1}{1+1}.
  • Assim o valor do limite é -\dfrac{1}{2}.
Passo extra (dica para a prova): outra forma rápida é usar desenvolvimento assintótico
\sqrt{x^{2}-1}=x\sqrt{1-1/x^{2}}=x\bigl(1-\tfrac{1}{2x^{2}}+o(1/x^{2})\bigr),
o que dá \sqrt{x^{2}-1}-x\sim -\tfrac{1}{2x} e então x(\sqrt{x^{2}-1}-x)\sim -\tfrac{1}{2}. Esse método é útil quando se reconhece séries de Taylor.

Resposta

-\tfrac{1}{2}

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