Calcule os limites (justifique a resposta): \lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\sqrt{x^{2}-1}-x\right)=
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
Pede-se calcular o limite \lim_{x\to+\infty} x\bigl(\sqrt{x^{2}-1}-x\bigr).
A variável tende para +\infty.
A expressão envolve uma diferença com raiz quadrada e um fator x multiplicando essa diferença.
Passo 2
Observação sobre a forma indeterminada.
Para x\to+\infty temos \sqrt{x^{2}-1}\sim x, então a diferença \sqrt{x^{2}-1}-x tende a 0.
Ao mesmo tempo o fator x tende a +\infty.
Portanto a expressão tem a aparência de uma forma indeterminada do tipo +\infty\cdot 0. Isso indica que precisamos manipular algebricamente para obter um limite determinado.
Passo 3
Aplicar o truque do conjugado (multiplicar por 1 na forma adequada) para eliminar a diferença de radicais.
Multiplicamos a expressão por \dfrac{\sqrt{x^{2}-1}+x}{\sqrt{x^{2}-1}+x}, que é igual a 1:
Passo extra (dica para a prova): outra forma rápida é usar desenvolvimento assintótico \sqrt{x^{2}-1}=x\sqrt{1-1/x^{2}}=x\bigl(1-\tfrac{1}{2x^{2}}+o(1/x^{2})\bigr),
o que dá \sqrt{x^{2}-1}-x\sim -\tfrac{1}{2x} e então x(\sqrt{x^{2}-1}-x)\sim -\tfrac{1}{2}. Esse método é útil quando se reconhece séries de Taylor.