Em seguida, use a definição \varepsilon-\delta para provar que o limite é L.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Calcular o valor do limite \displaystyle L=\lim_{x\to-4}\left(\tfrac{1}{2}x-1\right).
Provar, usando a definição \varepsilon-\delta, que o limite é L.
Informações dadas:
A função considerada é f(x)=\tfrac{1}{2}x-1.
O ponto em que x tende é x\to-4.
Passo 2
Vamos calcular diretamente o valor do limite avaliando a expressão quando x=-4. Como f é uma função afim (linear), podemos substituir:
f(-4)=\tfrac{1}{2}\cdot(-4)-1.
Agora faça a conta passo a passo:
\tfrac{1}{2}\cdot(-4)=-2,
-2-1=-3.
Portanto, pelo cálculo direto, o candidato a limite é
L=-3.
Passo 3
Antes de provar formalmente, recordando a definição \varepsilon-\delta de limite:
\text{Dizemos que }\lim_{x\to a}f(x)=L\text{ se, para todo }\varepsilon>0,\text{ existe }\delta>0\text{ tal que, sempre que }0<|x-a|<\delta,\text{ tem-se }|f(x)-L|<\varepsilon.
Explicando em palavras: dado qualquer “erro” aceitável \varepsilon para a saída f(x), precisamos encontrar um intervalo em torno de a (tamanho \delta) tal que, se x estiver dentro desse intervalo (mas diferente de a), então f(x) estará dentro do erro \varepsilon em relação a L.
Aqui a=-4, f(x)=\tfrac{1}{2}x-1 e o L que queremos provar é -3.
Passo 4
Vamos manipular |f(x)-L| para descobrir uma relação entre |f(x)-L| e |x+4|. Substituindo f(x) e L:
Isso mostra que, para esse \delta, sempre que 0<|x-(-4)|<\delta temos |f(x)-L|<\varepsilon. Portanto, pela definição \varepsilon-\delta, \displaystyle\lim_{x\to-4}\left(\tfrac{1}{2}x-1\right)=L.