Encontre o valor de
L=\lim _{x \rightarrow-4}\left(\frac{1}{2} x-1\right)
Em seguida, use a definição \varepsilon-\delta para provar que o limite é L.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular o valor do limite \displaystyle L=\lim_{x\to-4}\left(\tfrac{1}{2}x-1\right).
  • Provar, usando a definição \varepsilon- \delta, que o limite é L.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x)=\tfrac{1}{2}x-1.
  • O ponto em que x tende é x\to-4.

Passo 2

Vamos calcular diretamente o valor do limite avaliando a expressão quando x=-4. Como f é uma função afim (linear), podemos substituir:
f(-4)=\tfrac{1}{2}\cdot(-4)-1.
Agora faça a conta passo a passo:
\tfrac{1}{2}\cdot(-4)=-2,
-2-1=-3.
Portanto, pelo cálculo direto, o candidato a limite é
L=-3.

Passo 3

Antes de provar formalmente, recordando a definição \varepsilon- \delta de limite:
\text{Dizemos que }\lim_{x\to a}f(x)=L\text{ se, para todo }\varepsilon>0,\text{ existe }\delta>0\text{ tal que, sempre que }0<|x-a|<\delta,\text{ tem-se }|f(x)-L|<\varepsilon.
Explicando em palavras: dado qualquer “erro” aceitável \varepsilon para a saída f(x), precisamos encontrar um intervalo em torno de a (tamanho \delta) tal que, se x estiver dentro desse intervalo (mas diferente de a), então f(x) estará dentro do erro \varepsilon em relação a L.
Aqui a=-4, f(x)=\tfrac{1}{2}x-1 e o L que queremos provar é -3.

Passo 4

Vamos manipular |f(x)-L| para descobrir uma relação entre |f(x)-L| e |x+4|. Substituindo f(x) e L:
|f(x)-L|=\left|\tfrac{1}{2}x-1-(-3)\right|.
Simplificando passo a passo:
\tfrac{1}{2}x-1-(-3)=\tfrac{1}{2}x-1+3=\tfrac{1}{2}x+2.
Podemos fatorar:
\tfrac{1}{2}x+2=\tfrac{1}{2}(x+4).
Logo
|f(x)-L|=\left|\tfrac{1}{2}(x+4)\right|=\tfrac{1}{2}|x+4|.

Passo 5

A partir da expressão |f(x)-L|=\tfrac{1}{2}|x+4|, queremos garantir |f(x)-L|<\varepsilon. Isso é equivalente a
\tfrac{1}{2}|x+4|<\varepsilon.
Multiplicando ambos os lados por 2 (número positivo, então a desigualdade mantém o sentido):
|x+4|<2\varepsilon.
Portanto, uma escolha natural para \delta é
\delta=2\varepsilon.
Observações: qualquer 0<\delta\le 2\varepsilon também funciona; escolhemos \delta=2\varepsilon por simplicidade.

Passo 6

Agora escrevemos a prova completa no formato \varepsilon- \delta:
Seja \varepsilon>0 arbitrário. Defina \delta=2\varepsilon. Suponha que x satisfaça 0<|x+4|<\delta. Então, usando o cálculo do passo anterior,
|f(x)-L|=\tfrac{1}{2}|x+4|<\tfrac{1}{2}\delta=\tfrac{1}{2}\cdot(2\varepsilon)=\varepsilon.
Isso mostra que, para esse \delta, sempre que 0<|x-(-4)|<\delta temos |f(x)-L|<\varepsilon. Portanto, pela definição \varepsilon- \delta, \displaystyle\lim_{x\to-4}\left(\tfrac{1}{2}x-1\right)=L.

Resposta

-3

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