Para valores de x estritamente maiores que 3 uso a expressão 4-x.
Para valores de x menores ou iguais a 3 uso a expressão x^{2}-2x.
O valor de f em x=3 pode ser calculado pela parte x^{2}-2x porque essa parte vale também em x=3.]
Passo 2
Entendendo o que é cada limite pedido (explicação didática curta):
\lim_{x\to 3^{+}} f(x) é o limite quando x se aproxima de 3 vindo da direita, ou seja, por valores x>3. Para calcular esse limite uso a fórmula que descreve f em x>3.
\lim_{x\to 3^{-}} f(x) é o limite quando x se aproxima de 3 vindo da esquerda, ou seja, por valores x<3. Para calcular esse limite uso a expressão que vale para x\le 3.
\lim_{x\to 3} f(x) existe apenas se os dois limites laterais forem iguais.
Observação sobre continuidade e substituição: funções polinomiais e funções lineares são contínuas onde estão definidas, o que significa que o limite ao se aproximar de um ponto é simplesmente o valor da expressão nesse ponto. Logo, ao calcular limites laterais, basta avaliar a expressão correspondente em x=3.
Passo 3
Cálculo do limite pela direita \lim_{x\to 3^{+}} f(x).
Para x>3 vale f(x)=4-x. Como 4-x é uma função linear (contínua), o limite quando x\to3^{+} é o valor da expressão em x=3:
que são valores diferentes. Portanto o limite bilateral não existe.
Comentário final (didático e motivador): isso é um exemplo clássico de descontinuidade do tipo “salto” (jump): a função à esquerda de 3 tende a 3 e à direita tende a 1, então há um salto no valor do limite em x=3. O valor da função em x=3 — que é f(3)=3 porque a parte x^{2}-2x vale para x=3 — coincide com o limite à esquerda, mas isso não basta para existir o limite bilateral.