Seja
f(x)= \begin{cases}x^{2}-2 x, & \text { se } x \leq 3 \\\\ 4-x, & \text { se } x>3\end{cases}
Calcule, caso existam, os limites:
\lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x), \quad \lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x), \quad \lim _{x \rightarrow 3} f(x) .
Se algum dos limites não existir, justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}x^{2}-2 x, & \text{se } x \leq 3,\\[4pt] 4-x, & \text{se } x>3,\end{cases}
e pede que eu calcule os limites
\lim_{x\to 3^{+}} f(x),\qquad \lim_{x\to 3^{-}} f(x),\qquad \lim_{x\to 3} f(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para valores de x estritamente maiores que 3 uso a expressão 4-x.
  • Para valores de x menores ou iguais a 3 uso a expressão x^{2}-2x.
  • O valor de f em x=3 pode ser calculado pela parte x^{2}-2x porque essa parte vale também em x=3.]

Passo 2

Entendendo o que é cada limite pedido (explicação didática curta):
  • \lim_{x\to 3^{+}} f(x) é o limite quando x se aproxima de 3 vindo da direita, ou seja, por valores x>3. Para calcular esse limite uso a fórmula que descreve f em x>3.
  • \lim_{x\to 3^{-}} f(x) é o limite quando x se aproxima de 3 vindo da esquerda, ou seja, por valores x<3. Para calcular esse limite uso a expressão que vale para x\le 3.
  • \lim_{x\to 3} f(x) existe apenas se os dois limites laterais forem iguais.
Observação sobre continuidade e substituição: funções polinomiais e funções lineares são contínuas onde estão definidas, o que significa que o limite ao se aproximar de um ponto é simplesmente o valor da expressão nesse ponto. Logo, ao calcular limites laterais, basta avaliar a expressão correspondente em x=3.

Passo 3

Cálculo do limite pela direita \lim_{x\to 3^{+}} f(x).
Para x>3 vale f(x)=4-x. Como 4-x é uma função linear (contínua), o limite quando x\to3^{+} é o valor da expressão em x=3:
\lim_{x\to 3^{+}} f(x)=\lim_{x\to 3^{+}} (4-x)=4-3=1.

Passo 4

Cálculo do limite pela esquerda \lim_{x\to 3^{-}} f(x).
Para x\le 3 vale f(x)=x^{2}-2x. Essa é uma função polinomial (contínua), então o limite quando x\to3^{-} é a avaliação em x=3:
\lim_{x\to 3^{-}} f(x)=\lim_{x\to 3^{-}} (x^{2}-2x)=3^{2}-2\cdot 3=9-6=3.

Passo 5

Verificação da existência do limite bilateral \lim_{x\to 3} f(x).
A definição exige que os limites laterais coincidam. Encontramos
\lim_{x\to 3^{-}} f(x)=3\qquad\text{e}\qquad\lim_{x\to 3^{+}} f(x)=1,
que são valores diferentes. Portanto o limite bilateral não existe.
Comentário final (didático e motivador): isso é um exemplo clássico de descontinuidade do tipo “salto” (jump): a função à esquerda de 3 tende a 3 e à direita tende a 1, então há um salto no valor do limite em x=3. O valor da função em x=3 — que é f(3)=3 porque a parte x^{2}-2x vale para x=3 — coincide com o limite à esquerda, mas isso não basta para existir o limite bilateral.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 3^{+}} f(x)=1
\displaystyle \lim_{x\to 3^{-}} f(x)=3
\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)\\ \text{não existe}ã

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