Calcule os limites laterais e analise continuidade (nível: médio a difícil)
lim x 0^- x-1x^2(x+2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular os limites laterais da função
f(x)=x-1x^2(x+2)
quando x tende a 0 pela esquerda e pela direita, e em seguida analisar a continuidade em x=0. O conteúdo envolve limites que levam a assimptota vertical e classificação da descontinuidade.

Passo 2

Identificamos o domínio de f. O denominador x^2(x+2) anula-se em x=0 e em x=-2, logo f não está definida nesses pontos. Como o foco é em x=0, trata-se de um ponto singular onde o denominador tende a zero em ambas as direções.

Passo 3

Calcular limxto 0^-f(x) por análise de sinal.
Quando xto 0^- temos
– numerador x-1to -1 (negativo),
– fator x^2>0,
– fator x+2to 2 (positivo).
O denominador tende a 0^+ e é positivo, logo a fração tende a -infty.
limxto 0^-x-1x^2(x+2)=-infty

Passo 4

Calcular limxto 0^+f(x) de forma análoga.
Quando xto 0^+ temos
– numerador x-1to -1 (negativo),
x^2>0,
x+2to 2 (positivo).
O denominador tende a 0^+ e é positivo, logo a fração tende a -infty.
limxto 0^+x-1x^2(x+2)=-infty

Passo 5

Como ambos os limites laterais são iguais a -infty, existe uma assimptota vertical em x=0. Isso caracteriza uma descontinuidade infinita, ou seja, f não é contínua em x=0.

Resposta

limxto 0^-x-1x^2(x+2)=-infty
limxto 0^+x-1x^2(x+2)=-infty
Em x=0 a função apresenta descontinuidade infinita e não é contínua nesse ponto.

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