Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime-y=0 ; y(0)=1, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea com condições iniciais
y'' - y = 0, y(0)=1,;y'(0)=1
usando transformadas de Laplace. Vamos precisar da propriedade
Ly''(t)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0) e da tabela básica de transformadas.

Passo 2

Tomando a transformada de Laplace em ambos os lados de y''-y=0 obtemos
Ly''-Ly=0 Longrightarrow l(s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)r)-Y(s)=0

Passo 3

Substituindo y(0)=1 e y'(0)=1 na equação de Y(s) temos
s^2Y(s)-scdot1-1 -Y(s)=0 Longrightarrow (s^2-1)Y(s)=s+1 Longrightarrow Y(s)=s+1s^2-1

Passo 4

Fazendo a decomposição em frações parciais:
s+1s^2-1=s+1(s-1)(s+1) =As-1+Bs+1
e igualando numeradores s+1=A(s+1)+B(s-1) leva a A=1, B=0. Logo
Y(s)=1s-1

Passo 5

Invertendo a transformada de Laplace conhecida L^-11/(s-a)=e^at
y(t)=e^1cdot t=e^t

Resposta

y(t)=e^t

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