Calcule os limites laterais (direita e esquerda) das funções:
lim x 1 f(x)-f(1)x-1
sendo f(x)=x+1 se x >= 1 e f(x)=2 x se x<1.

Passo 1

O enunciado pede pra calcular as duas limitas da diferença quociente f(x)-f(1)x-1 quando xto1^+ e xto1^-. Isso envolve conceitos de limite lateral e interpretação de função definida por partes.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar f(1). Como 1>=1, usamos o ramo f(x)=x+1. Logo, f(1)=1+1=2.

Passo 3

Para o limite pela direita ( xto1^+), usamos o mesmo ramo f(x)=x+1. Substituindo no quociente temos
f(x)-f(1)x-1 = (x+1)-2x-1 = x-1x-1 = 1
Como não sobra indeterminação, concluímos que limxto1^+f(x)-f(1)x-1=1.

Passo 4

Para o limite pela esquerda ( xto1^-), agora usamos o ramo f(x)=2x. Substituindo no quociente:
f(x)-f(1)x-1 = 2x-2x-1 = 2(x-1)x-1 = 2
Assim, limxto1^-f(x)-f(1)x-1=2.

Resposta

Limite pela direita = 1; Limite pela esquerda = 2.

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