Seja F(x, y)=(xy, y^2) um campo bidimensional e seja gamma a trajetória y=2 x^2 que une (0,0) com (1,2). Calcular integralgamma F. Depende essa integral da trajetória que une esses pontos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre calcular uma integral de linha de um campo vetorial bidimensional F(x, y) = (xy, y^2) ao longo da trajetória gamma definida por y = 2x^2, que vai do ponto (0,0) ao (1,2). A gente vai precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais. Além disso, no final, vamos verificar se essa integral depende do caminho escolhido ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a trajetória gamma. Como a trajetória é dada por y = 2x^2, podemos usar x como parâmetro. Então, podemos escrever:
r(t) = (t, 2t^2), onde t in [0, 1]
Aqui, t varia de 0 a 1 para ir de (0,0) a (1,2).

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t, que é r'(t):
r'(t) = ( dxdt, dydt ) = ( 1, 4t )
Essa derivada nos dá o vetor tangente à curva em cada ponto.

Passo 4

Vamos substituir a parametrização na função do campo vetorial F(x, y):
F(r(t)) = ( t cdot 2t^2, (2t^2)^2 ) = ( 2t^3, 4t^4 )
Então, F(r(t)) = (2t^3, 4t^4).

Passo 5

A integral de linha é dada por:
integralgamma F cdot dr = integral0^1 F(r(t)) cdot r'(t) , dt
Vamos calcular o produto escalar F(r(t)) cdot r'(t):
(2t^3, 4t^4) cdot (1, 4t) = 2t^3 cdot 1 + 4t^4 cdot 4t = 2t^3 + 16t^5

Passo 6

Agora, integramos essa expressão de t = 0 a t = 1:
integral0^1 (2t^3 + 16t^5) , dt = integral0^1 2t^3 , dt + integral0^1 16t^5 , dt
Calculando cada integral separadamente:
integral0^1 2t^3 , dt = 2 cdot [ t^44 ]0^1 = 2 cdot ( 14 - 0 ) = 12
integral0^1 16t^5 , dt = 16 cdot [ t^66 ]0^1 = 16 cdot ( 16 - 0 ) = 166 = 83

Passo 7

Somando as duas partes:
12 + 83 = 36 + 166 = 196

Resposta

A integral integralgamma F vale dfrac196 e ela não depende da trajetória escolhida para unir os pontos (0,0) e (1,2).

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