Seja
um campo bidimensional e seja
a trajetória
que une
com
. Calcular
. Depende essa integral da trajetória que une esses pontos?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre calcular uma integral de linha de um campo vetorial bidimensional
ao longo da trajetória
definida por
, que vai do ponto
ao
. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais. Além disso, no final, vamos verificar se essa integral depende do caminho escolhido ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a trajetória
. Como a trajetória é dada por
, podemos usar
como parâmetro. Então, podemos escrever:
Aqui,
varia de
a
para ir de
a
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
:
Essa derivada nos dá o vetor tangente à curva em cada ponto.
Passo 4
Vamos substituir a parametrização na função do campo vetorial
:
Então,
.
Passo 5
A integral de linha é dada por:
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Calculando cada integral separadamente:
Passo 7
Somando as duas partes:
Resposta
A integral
vale
e ela não depende da trajetória escolhida para unir os pontos
e
.