Seja \left(a_{n}\right) uma sucessão convergente. Mostre que qualquer subsucessão é também convergente. Além disso, se o limite de \left(a_{n}\right) é r, o limite de qualquer subsucessão é também r.

Passo 1

O enunciado dá que \left(a_{n}\right) é uma sucessão convergente. Pede para provar duas coisas:
  • Que qualquer subsucessão de \left(a_{n}\right) também é convergente.
  • Que, se \lim_{n\to\infty} a_{n}=r, então o limite de qualquer subsucessão é também r.
Informações relevantes fornecidas:
  • Existe uma sucessão \left(a_{n}\right) e ela converge (portanto tem algum limite r quando indicado).
  • Uma subsucessão é uma sequência da forma \left(a_{n_{k}}\right)_{k=1}^{\infty}, onde (n_{k}) é uma sequência estritamente crescente de inteiros naturais.

Passo 2

Vamos explicitar as definições que vamos usar (tudo bem mastigado):
  • Definição de subsucessão: uma subsucessão de \left(a_{n}\right) é uma sequência \left(a_{n_{k}}\right) com índices n_{1}<n_{2}<n_{3}<\cdots, todos naturais. Isso significa que escolhemos alguns termos de \left(a_{n}\right) na ordem em que aparecem, sem voltar atrás.
  • Definição de convergência (forma \varepsilon- N): dizemos que \lim_{n\to\infty} a_{n}=r se, para todo \varepsilon>0, existe um inteiro N tal que
|a_{n}-r|<\varepsilon\quad\text{para todo }n\ge N.
Essa é a ferramenta que vamos usar: dado \varepsilon>0 queremos encontrar um índice a partir do qual todos os termos (ou todos os termos da subsucessão) ficam a menos de \varepsilon de r.

Passo 3

Um fato simples sobre os índices da subsucessão que usamos: se (n_{k}) é estritamente crescente (índices naturais), então vale
n_{k}\ge k\quad\text{para todo }k\in\mathbb{N}.
Prova rápida por indução (para não deixar dúvidas):
  • Base: n_{1} é um natural \ge 1, logo n_{1}\ge 1.
  • Passo indutivo: suponha n_{k}\ge k. Como n_{k+1} é um inteiro maior que n_{k}, tem n_{k+1}\ge n_{k}+1. Pela hipótese indutiva,
n_{k+1}\ge n_{k}+1\ge k+1,
portanto n_{k+1}\ge k+1. Assim a propriedade vale para todo k.
Esse lema é útil porque relaciona o crescimento de n_{k} com k diretamente.

Passo 4

Agora faça a prova principal (argumento \varepsilon- N):
Suponha \lim_{n\to\infty} a_{n}=r. Tome um \varepsilon>0 qualquer. Pela definição de convergência, existe um inteiro N tal que
|a_{n}-r|<\varepsilon\quad\text{para todo }n\ge N.
Queremos mostrar que existe um inteiro K (dependendo de \varepsilon) tal que
|a_{n_{k}}-r|<\varepsilon\quad\text{para todo }k\ge K,
o que provou que \left(a_{n_{k}}\right) converge para r.
Use o lema do Passo 3: como n_{k}\ge k, se escolhermos K=N então, para todo k\ge K,
n_{k}\ge k\ge N,
e portanto, pela escolha de N,
|a_{n_{k}}-r|<\varepsilon.
Isto mostra exatamente que, para esse K, todos os termos da subsucessão a partir de k=K ficam dentro de \varepsilon de r. Como \varepsilon>0 foi arbitrário, concluímos que \lim_{k\to\infty} a_{n_{k}}=r.

Passo 5

Conclusão lógica e comentário extra:
  • Mostramos que toda subsucessão \left(a_{n_{k}}\right) de uma sucessão convergente \left(a_{n}\right) também converge.
  • Mostramos mais: se \lim_{n\to\infty} a_{n}=r, então a convergência da subsucessão é para o mesmo limite r. Em outras palavras, não é possível que uma subsucessão de uma sucessão convergente tenha limite diferente.

Passo 6

Um exemplo rápido para fixar a intuição (sem pretensão formal): considere a_{n}=\tfrac{1}{n}, que converge para 0. Pegue a subsucessão com índices pares n_{k}=2k. Então a_{n_{k}}=\tfrac{1}{2k}, que também converge para 0. O argumento geral que fizemos é justamente uma versão formal e genérica desse raciocínio.

Resposta

Toda subsucessão de \left(a_{n}\right) converge.
Se \lim_{n\to\infty} a_{n}=r, então para qualquer subsucessão \left(a_{n_{k}}\right) vale \lim_{k\to\infty} a_{n_{k}}=r.

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