Seja
uma sucessão convergente. Mostre que qualquer subsucessão é também convergente. Além disso, se o limite de
é
, o limite de qualquer subsucessão é também
.
Passo 1
O enunciado dá que
é uma sucessão convergente. Pede para provar duas coisas:
- Que qualquer subsucessão de
também é convergente. - Que, se
, então o limite de qualquer subsucessão é também .
Informações relevantes fornecidas:
- Existe uma sucessão
e ela converge (portanto tem algum limite quando indicado). - Uma subsucessão é uma sequência da forma
, onde é uma sequência estritamente crescente de inteiros naturais.
Passo 2
Vamos explicitar as definições que vamos usar (tudo bem mastigado):
- Definição de subsucessão: uma subsucessão de
é uma sequência com índices , todos naturais. Isso significa que escolhemos alguns termos de na ordem em que aparecem, sem voltar atrás. - Definição de convergência (forma
- ): dizemos que se, para todo , existe um inteiro tal que
Essa é a ferramenta que vamos usar: dado
queremos encontrar um índice a partir do qual todos os termos (ou todos os termos da subsucessão) ficam a menos de
de
.
Passo 3
Um fato simples sobre os índices da subsucessão que usamos: se
é estritamente crescente (índices naturais), então vale
Prova rápida por indução (para não deixar dúvidas):
- Base:
é um natural , logo . - Passo indutivo: suponha
. Como é um inteiro maior que , tem . Pela hipótese indutiva,
portanto
. Assim a propriedade vale para todo
.
Esse lema é útil porque relaciona o crescimento de
com
diretamente.
Passo 4
Agora faça a prova principal (argumento
-
):
Suponha . Tome um
qualquer. Pela definição de convergência, existe um inteiro
tal que
Suponha
Queremos mostrar que existe um inteiro
(dependendo de
) tal que
o que provou que
converge para
.
Use o lema do Passo 3: como
, se escolhermos
então, para todo
,
e portanto, pela escolha de
,
Isto mostra exatamente que, para esse
, todos os termos da subsucessão a partir de
ficam dentro de
de
. Como
foi arbitrário, concluímos que
.
Passo 5
Conclusão lógica e comentário extra:
- Mostramos que toda subsucessão
de uma sucessão convergente também converge. - Mostramos mais: se
, então a convergência da subsucessão é para o mesmo limite . Em outras palavras, não é possível que uma subsucessão de uma sucessão convergente tenha limite diferente.
Passo 6
Um exemplo rápido para fixar a intuição (sem pretensão formal): considere
, que converge para
. Pegue a subsucessão com índices pares
. Então
, que também converge para
. O argumento geral que fizemos é justamente uma versão formal e genérica desse raciocínio.
Resposta
Toda subsucessão de
converge.
Se , então para qualquer subsucessão
vale
.
Se