Calcule os limites laterais indicados.
Passo 1
O enunciado pede o limite lateral à esquerda
Informações dadas e observações imediatas:
- A função considerada é
, definida para todo . - O limite é lateral à esquerda, ou seja, estamos interessados no comportamento de
quando se aproxima de por valores negativos (valores muito próximos de ). - Não há outras hipóteses no enunciado (por exemplo, restrição de domínio além de
).
Passo 2
Entendendo a expressão: para qualquer
vale
porque o quadrado de um número real não nulo é sempre positivo. Portanto, para
temos
Isto já diz que a função toma valores positivos quando nos aproximamos de
tanto pela direita quanto pela esquerda.
Passo 3
Intuição do comportamento ao aproximar-se de zero: se
fica muito pequeno (isto é,
se aproxima de
), então
fica ainda menor (pois
implica
). Como o denominador
tende a
por valores positivos, o quociente
cresce sem limite. Exemplos numéricos para sentir isso:
- Para
tem-se . - Para
tem-se .
Esses exemplos mostram que ao aproximarde pela esquerda os valores da função aumentam muito e tornam-se arbitrariamente grandes.
Passo 4
Prova formal do fato de que o limite é
(definição de limite infinito pela esquerda): queremos mostrar que para todo
existe
tal que, se
(ou seja,
), então
Escolha
(note que
porque
). Se
então
, logo
Invertendo (como todos os termos são positivos) obtemos
Isso mostra que, dado qualquer
, existe
(concretamente
) que garante
sempre que
estiver em
. Pela definição, isso significa exatamente que
Passo 5
Comentário final e motivação para a prova: a razão principal é que o quadrado elimina o sinal de
, então aproximar-se de
pela esquerda ou pela direita produz o mesmo tipo de crescimento do valor
. A prova com
e
formaliza a ideia de “tornar o valor da função maior que qualquer número dado”.