Calcule os limites laterais indicados.
lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral à esquerda
\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x^{2}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função considerada é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}, definida para todo x\neq 0.
  • O limite é lateral à esquerda, ou seja, estamos interessados no comportamento de f(x) quando x se aproxima de 0 por valores negativos (valores x<0 muito próximos de 0).
  • Não há outras hipóteses no enunciado (por exemplo, restrição de domínio além de x\neq0).

Passo 2

Entendendo a expressão: para qualquer x\neq 0 vale
x^{2}>0,
porque o quadrado de um número real não nulo é sempre positivo. Portanto, para x\neq0 temos
\frac{1}{x^{2}}>0.
Isto já diz que a função toma valores positivos quando nos aproximamos de 0 tanto pela direita quanto pela esquerda.

Passo 3

Intuição do comportamento ao aproximar-se de zero: se |x| fica muito pequeno (isto é, x se aproxima de 0), então x^{2} fica ainda menor (pois |x|<1 implica x^{2}<|x|). Como o denominador (x^{2}) tende a 0 por valores positivos, o quociente \dfrac{1}{x^{2}} cresce sem limite. Exemplos numéricos para sentir isso:
  • Para x=-0,1 tem-se \dfrac{1}{x^{2}}=\dfrac{1}{( -0,1)^{2}}=100.
  • Para x=-0,01 tem-se \dfrac{1}{x^{2}}=10000.
    Esses exemplos mostram que ao aproximar x de 0 pela esquerda os valores da função aumentam muito e tornam-se arbitrariamente grandes.

Passo 4

Prova formal do fato de que o limite é +\infty (definição de limite infinito pela esquerda): queremos mostrar que para todo M>0 existe \delta>0 tal que, se x\in(-\delta,0) (ou seja, 0>x>-\delta), então
\frac{1}{x^{2}}>M.
Escolha \delta=\dfrac{1}{\sqrt{M}} (note que \sqrt{M}>0 porque M>0). Se x\in(-\delta,0) então |x|<\delta, logo
x^{2}<\delta^{2}=\frac{1}{M}.
Invertendo (como todos os termos são positivos) obtemos
\frac{1}{x^{2}}>\frac{1}{\delta^{2}}=M.
Isso mostra que, dado qualquer M>0, existe \delta>0 (concretamente \delta=1/\sqrt{M}) que garante 1/x^{2}>M sempre que x estiver em (-\delta,0). Pela definição, isso significa exatamente que
\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x^{2}}=+\infty.

Passo 5

Comentário final e motivação para a prova: a razão principal é que o quadrado elimina o sinal de x, então aproximar-se de 0 pela esquerda ou pela direita produz o mesmo tipo de crescimento do valor 1/x^{2}. A prova com M e \delta formaliza a ideia de “tornar o valor da função maior que qualquer número dado”.

Resposta

+\infty

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