Calcule os limites laterais lim x a^+ f(x) e lim x a^- f(x) em cada um dos casos abaixo. Diga quando existe lim x a f(x) e calcule neste caso seu valor.
f(x)=|3 x^2-5 x-2|x-2 ; a=2

Passo 1

O enunciado pede as limites laterais de
f(x)=l|3x^2-5x-2r|x-2
em a=2.
Para isso vamos fatorar o que está dentro do valor absoluto, transformar f num trecho para x>2 e num trecho para x<2, e só então calcular as duas aproximações.

Passo 2

Vamos fatorar o polinômio dentro do módulo:
3x^2-5x-2 = (x-2)(3x+1)
Logo
l|3x^2-5x-2r| = |x-2|;|3x+1|
e
f(x) = |x-2|;|3x+1|x-2 = |3x+1|;|x-2|x-2
Mas
|x-2|x-2 = +1,&x>2, -1,&x<2
Portanto
f(x)= |3x+1|, & x>2, -|3x+1|, & x<2

Passo 3

Para xto2^+ usamos o ramo f(x)=|3x+1|. Então
limxto2^+f(x) = l|3cdot2+1r| = |7| =7

Passo 4

Para xto2^- usamos o ramo f(x)=-|3x+1|. Logo
limxto2^-f(x) = -l|3cdot2+1r| = -7

Passo 5

Como
limxto2^+f(x)=7 e
limxto2^-f(x)=-7
são diferentes, não existe
limxto2f(x).

Resposta

limxto2^+f(x)=7, limxto2^-f(x)=-7,
e limxto2f(x) não existe.

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