(1,5) Utilize as regras de derivação para encontrar as derivadas da função f(x)=(x^2+e^x) cdot(5 x^2+3 x-7).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(x^2+e^xr)cdotl(5x^2+3x-7r)
O conteúdo aqui é a regra do produto, que diz que se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
l(ucdot vr)'=u',v+u,v'

Passo 2

Identificamos
u(x)=x^2+e^x, v(x)=5x^2+3x-7
Agora calculamos as derivadas de cada um:
u'(x)=ddx(x^2)+ddx(e^x)=2x+e^x,
v'(x)=ddx(5x^2)+ddx(3x)-ddx(7)=10x+3

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Substituindo u, u', v e v':
f'(x)=(2x+e^x),(5x^2+3x-7)+(x^2+e^x),(10x+3)

Passo 4

Para simplificar, expandimos cada termo:
2x,(5x^2+3x-7)=10x^3+6x^2-14x,
x^2,(10x+3)=10x^3+3x^2,
e^x,(5x^2+3x-7)+e^x,(10x+3) =e^xl(5x^2+3x-7+10x+3r) =e^x(5x^2+13x-4)
Somando os polinômios:
10x^3+6x^2-14x+10x^3+3x^2 =20x^3+9x^2-14x
Logo,
f'(x)=20x^3+9x^2-14x+l(5x^2+13x-4r)e^x

Resposta

f'(x)=20x^3+9x^2-14x+l(5x^2+13x-4r)e^x

Exercícios relacionados