Questão 3. Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação das regiōes indicadas:
y=1 / x, y=0, x=1, x=3 ao redor do eixo de y=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno da reta y=1, a região limitada por y = 1/x, y = 0, x = 1 e x = 3. Aqui usaremos o método de anéis (washers) para sólidos de revolução.

Passo 2

Para um valor fixo de xin[1,3], a região vertical vai de y=0 até y=1/x. Ao girar em torno de y=1:
– o raio externo é
R(x) = 1 - 0 = 1,
– o raio interno é
r(x) = 1 - 1x

Passo 3

A área do anel em x vale
A(x) = pil(R(x)^2 - r(x)^2r) = pil[1^2 - l(1 - 1xr)^2r] = pil(2x - 1x^2r)

Passo 4

O volume é a integral dessa área de x=1 até x=3:
V = integral1^3 A(x),dx = pi integral1^3 l(2x - 1x^2r),dx

Passo 5

Calculamos a primitiva:
integral l(2x - 1x^2r),dx = 2ln x + 1x
Logo,
V = pil[2ln x + 1xr]1^3 = pil(2ln 3 + 13 - 1r) = pil(2ln 3 - 23r)

Resposta

V = pil(2ln 3 - tfrac23r)

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