Calcule os limites laterais:
lim x 1^+ f(x)-f(1)x-1 e lim x 1^- f(x)-f(1)x-1, onde f(x)=clx+1, & se x<1, 2 x^2, & se x>1

Passo 1

O enunciado define
f(x)= x+1, & x<1, 2x^2, & x>1
e pede os limites
limxto1^-f(x)-f(1)x-1 e limxto1^+f(x)-f(1)x-1.
Trata-se dos quocientes de diferença que correspondem à derivada lateral em x=1. Para resolver precisamos de f(1) e de substituir corretamente cada ramo.

Passo 2

Primeiro determinamos
limxto1^-f(x)=1+1=2,
limxto1^+f(x)=2cdot1^2=2
Como ambos tendem a 2, assumimos f(1)=2 para poder calcular os quocientes de diferença.

Passo 3

Para x<1 temos f(x)=x+1, logo
f(x)-f(1)x-1 =(x+1)-2x-1 =x-1x-1 =1
Portanto
limxto1^-f(x)-f(1)x-1=1

Passo 4

Para x>1 temos f(x)=2x^2, logo
f(x)-f(1)x-1 =2x^2-2x-1 =2(x^2-1)x-1 =2,(x+1)
Ao fazer xto1^+ obtemos
limxto1^+f(x)-f(1)x-1 =2,(1+1)=4

Resposta

limxto1^-f(x)-f(1)x-1=1, limxto1^+f(x)-f(1)x-1=4

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