Exercício 15. Uma partícula em movimento retilíneo tem sua posição, no instante
, dada por
Determine:
a) os instantes em que
;
b) os intervalos de tempo nos quais a partícula encontra-se à direita de zero e aqueles nos quais encontra-se à esquerda de zero;
c) a velocidade média entre o tempo inicial 2 e o tempo final
, sabendo que a velocidade média é dada por
, onde
representa o instante inicial e
o instante final;
d) os valores de
para os quais
e aqueles onde
;
e) o que ocorre com
à medida que
se aproxima de 2 ?
a) os instantes em que
b) os intervalos de tempo nos quais a partícula encontra-se à direita de zero e aqueles nos quais encontra-se à esquerda de zero;
c) a velocidade média entre o tempo inicial 2 e o tempo final
d) os valores de
e) o que ocorre com
Passo 1
O enunciado dá a posição de uma partícula em movimento retilíneo
e pede:
a) os instantes em que ;
b) em que intervalos (à direita de zero) e
(à esquerda de zero);
c) a velocidade média entre e
;
d) para quais essa velocidade média é
ou
;
e) o que acontece com essa velocidade média quando .
Vamos usar fatoração de polinômio, análise de sinal e limite de quociente.
a) os instantes em que
b) em que intervalos
c) a velocidade média entre
d) para quais
e) o que acontece com essa velocidade média quando
Vamos usar fatoração de polinômio, análise de sinal e limite de quociente.
Passo 2
Para achar os zeros de
basta resolver
Fatorando
.
Logo as soluções são
Logo as soluções são
Passo 3
Como o denominador
para todo
, o sinal de
é o mesmo do numerador
Para
temos a linha de sinais com zeros em
. Verificando um ponto em cada intervalo:
- Em
, por exemplo : , então . - Em
, por exemplo : , então . - Em
, por exemplo : , então .
Passo 4
A velocidade média entre
e
é
Como
, vem
Passo 5
O sinal de
depende de
(o denominador é sempre positivo):
-
em , logo para (exceto , onde a fórmula original não se define). -
para , logo para .
Passo 6
Para ver o que ocorre quando
, tomamos o limite da expressão simplificada:
Resposta
(a)
.
(b)
em
e
;
em
.
(c)
(d)
para
(exceto
) e
para
.
(e)