Exercício 15. Uma partícula em movimento retilíneo tem sua posição, no instante t, dada por
p(t)=t^3-5 t^2+6 tt^2+1, para t >= 0
Determine:
a) os instantes em que p(t)=0;
b) os intervalos de tempo nos quais a partícula encontra-se à direita de zero e aqueles nos quais encontra-se à esquerda de zero;
c) a velocidade média entre o tempo inicial 2 e o tempo final t, sabendo que a velocidade média é dada por vt1, t2= p(t2)-p(t1)t2-t1, onde t1 representa o instante inicial e t2 o instante final;
d) os valores de t >= 0 para os quais v2, t <= 0 e aqueles onde v2, t>0;
e) o que ocorre com v2, t à medida que t se aproxima de 2 ?

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula em movimento retilíneo
p(t)=t^3-5t^2+6tt^2+1, t>=0
e pede:
a) os instantes em que p(t)=0;
b) em que intervalos p(t)>0 (à direita de zero) e p(t)<0 (à esquerda de zero);
c) a velocidade média entre t1=2 e t2=t;
d) para quais t>=0 essa velocidade média é <=0 ou >0;
e) o que acontece com essa velocidade média quando tto2.
Vamos usar fatoração de polinômio, análise de sinal e limite de quociente.

Passo 2

Para achar os zeros de p basta resolver
p(t)=0iff t^3-5t^2+6tt^2+1=0iff t^3-5t^2+6t=0
Fatorando t(t^2-5t+6)=t(t-2)(t-3)=0.
Logo as soluções são
t=0, t=2, t=3

Passo 3

Como o denominador t^2+1>0 para todo t, o sinal de p(t) é o mesmo do numerador
N(t)=t(t-2)(t-3)
Para t>=0 temos a linha de sinais com zeros em 0,2,3. Verificando um ponto em cada intervalo:
  • Em (0,2), por exemplo t=1: N(1)=1cdot(-1)cdot(-2)>0, então p(t)>0.
  • Em (2,3), por exemplo t=2,5: N(2,5)<0, então p(t)<0.
  • Em (3,infty), por exemplo t=4: N(4)>0, então p(t)>0.

Passo 4

A velocidade média entre t1=2 e t2=t é
v2,t=p(t)-p(2)t-2
Como p(2)=l(8-20+12r)/(4+1)=0, vem
v2,t=p(t)t-2 =t(t-2)(t-3)(t^2+1)(t-2) =t(t-3)t^2+1, tneq2

Passo 5

O sinal de v2,t depende de t(t-3) (o denominador é sempre positivo):
  • t(t-3)<=0 em 0<= t<=3, logo v2,t<=0 para tin[0,3] (exceto t=2, onde a fórmula original não se define).
  • t(t-3)>0 para t>3, logo v2,t>0 para t>3.

Passo 6

Para ver o que ocorre quando tto2, tomamos o limite da expressão simplificada:
limtto2v2,t =limtto2t(t-3)t^2+1 =2,(2-3)2^2+1 =-25

Resposta

(a) t=0,;2,;3.
(b) p(t)>0 em 0<t<2 e t>3; p(t)<0 em 2<t<3.
(c)
v2,t =p(t)-p(2)t-2 =t(t-3)t^2+1
(d) v2,t<=0 para 0<= t<=3 (exceto t=2) e v2,t>0 para t>3.
(e)
limtto2v2,t =-tfrac25

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