Exercício 16. Um campo será delimitado no formato de um retângulo. Determine as dimensões do campo de área máxima que poderá ser cercado utilizando 100 metros lineares de cerca.

Passo 1

O enunciado pede as dimensões de um campo retangular que maximize a área, dado que o perímetro total de cerca disponível é 100 m. O conteúdo aqui é otimização de funções de uma variável usando derivadas para encontrar máximos.

Passo 2

Sejam x e y os comprimentos dos lados do retângulo em metros. Como o perímetro é a soma de todos os lados, temos
2(x+y)=100

Passo 3

Isolando y em função de x,
x + y = 50 Longrightarrow y = 50 - x
A área do retângulo é
A(x) = x cdot y = x(50 - x) = 50x - x^2

Passo 4

Para encontrar o valor de x que maximiza A(x), calculamos a derivada e igualamos a zero:
A'(x) = 50 - 2x,
50 - 2x = 0 Longrightarrow x = 25

Passo 5

Verificamos a natureza do ponto crítico analisando a segunda derivada:
A''(x) = -2 < 0,
isto é, a função é côncava para baixo e x=25 m de fato dá um máximo de área.

Passo 6

Substituindo x=25 na expressão de y,
y = 50 - 25 = 25
Logo, as dimensões que maximizam a área são 25 m por 25 m.

Resposta

As dimensões do campo de área máxima são 25 m de largura por 25 m de comprimento.

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