Exercício 16. Um campo será delimitado no formato de um retângulo. Determine as dimensões do campo de área máxima que poderá ser cercado utilizando 100 metros lineares de cerca.
Passo 1
O enunciado pede as dimensões de um campo retangular que maximize a área, dado que o perímetro total de cerca disponível é
m. O conteúdo aqui é otimização de funções de uma variável usando derivadas para encontrar máximos.
Passo 2
Sejam
e
os comprimentos dos lados do retângulo em metros. Como o perímetro é a soma de todos os lados, temos
Passo 3
Isolando
em função de
,
A área do retângulo é
Passo 4
Para encontrar o valor de
que maximiza
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Passo 5
Verificamos a natureza do ponto crítico analisando a segunda derivada:
isto é, a função é côncava para baixo e
m de fato dá um máximo de área.
Passo 6
Substituindo
na expressão de
,
Logo, as dimensões que maximizam a área são
m por
m.
Resposta
As dimensões do campo de área máxima são
m de largura por
m de comprimento.