Calcule os limites.
lim (x, y) (-1,1) 6 x y^2-12 x y^3-12 x^2 y^2+6 x^2 yx+y

Passo 1

O enunciado pede para calcular lim(x,y)to(-1,1) 6 x y^2-12 x y^3-12 x^2 y^2+6 x^2 yx+y. O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis e fatoração de polinômios.

Passo 2

Verificamos que ao substituir x=-1 e y=1 a função dá forma indeterminada, pois numerador e denominador anulam-se:
6cdot(-1)cdot1^2 -12cdot(-1)cdot1^3 -12cdot(-1)^2cdot1^2 +6cdot(-1)^2cdot1 = -6 +12 -12 +6 = 0,
x+y = -1 + 1 = 0

Passo 3

Para resolver a indeterminação, fatoramos o numerador. Note que todos os termos têm fator comum 6xy. Fatorando, obtemos:
6 x y^2 -12 x y^3 -12 x^2 y^2 +6 x^2 y = 6 x y l(y -2y^2 -2xy + xr)

Passo 4

Reescrevendo o termo dentro dos parênteses como fator de (x+y):
y -2y^2 -2xy + x = (x+y) -2y(x+y) = (x+y)(1-2y)

Passo 5

Assim, o numerador fica 6 x y (x+y)(1-2y) e a expressão simplifica para 6 x y (1-2y) após cancelar (x+y).

Passo 6

Agora basta avaliar a função simplificada em (x,y)=(-1,1):
6cdot(-1)cdot1cdot(1-2cdot1) = 6cdot(-1)cdot1cdot(-1) = 6

Resposta

6

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