Exercício 13.0.5. Considere as bases B=1,1+t, 1+t^2 e C=1, t, t^2 de P2(R).
Encontre as matrizes mudanças da base C para a base B, isto é [M]B^C.

Passo 1

A questão pede a matriz de mudança de base de C para B em P₂(ℝ). O conteúdo é mudança de base e vamos precisar escrever cada vetor da base C na base B.

Passo 2

Na mudança de base de C para B, o que a gente faz é achar a matriz P tal que para qualquer vetor v vale [v]B = P,[v]C. As colunas de P são as coordenadas dos vetores de C (que são 1, t e t²) escritas na base B.

Passo 3

Começamos com o primeiro vetor de C, que é 1. Queremos a, b, c tais que
acdot1 + bcdot(1+t) + ccdot(1+t^2) = 1
Comparando termos, no t² vem c=0, no t vem b=0 e na parte constante a + b + c = 1 dá a=1. Logo as coordenadas de 1 em B são (1,0,0).

Passo 4

Agora o segundo vetor de C, que é t. Queremos a, b, c tais que
acdot1 + bcdot(1+t) + ccdot(1+t^2) = t
Comparando, do termo t² vem c=0, do termo t vem b=1 e da constante a + b + c = 0 dá a = -1. Então as coordenadas de t em B são (-1,1,0).

Passo 5

Para o terceiro vetor de C, que é t², achamos a, b, c com
acdot1 + bcdot(1+t) + ccdot(1+t^2) = t^2
Agora o termo t² dá c=1, o termo t dá b=0 e a + b + c = 0 implica a=-1. Então as coordenadas de t² em B são (-1,0,1).

Passo 6

Agrupando essas colunas na ordem dos vetores de C (1, t, t²), obtemos a matriz de mudança de base.

Resposta

[M]B^C = 1 & -1 & -1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

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