Exercício 13.0.5. Considere as bases
e
de
.
Encontre as matrizes mudanças da base
para a base
, isto é
.
Encontre as matrizes mudanças da base
Passo 1
A questão pede a matriz de mudança de base de C para B em P₂(ℝ). O conteúdo é mudança de base e vamos precisar escrever cada vetor da base C na base B.
Passo 2
Na mudança de base de C para B, o que a gente faz é achar a matriz P tal que para qualquer vetor v vale
. As colunas de P são as coordenadas dos vetores de C (que são 1, t e t²) escritas na base B.
Passo 3
Começamos com o primeiro vetor de C, que é 1. Queremos a, b, c tais que
Comparando termos, no t² vem c=0, no t vem b=0 e na parte constante a + b + c = 1 dá a=1. Logo as coordenadas de 1 em B são (1,0,0).
Passo 4
Agora o segundo vetor de C, que é t. Queremos a, b, c tais que
Comparando, do termo t² vem c=0, do termo t vem b=1 e da constante a + b + c = 0 dá a = -1. Então as coordenadas de t em B são (-1,1,0).
Passo 5
Para o terceiro vetor de C, que é t², achamos a, b, c com
Agora o termo t² dá c=1, o termo t dá b=0 e a + b + c = 0 implica a=-1. Então as coordenadas de t² em B são (-1,0,1).
Passo 6
Agrupando essas colunas na ordem dos vetores de C (1, t, t²), obtemos a matriz de mudança de base.