Calcule os limites:
a) lim x -1 4 x^3+x^2+3x^5+1
b) lim x 1 x^100-x^2+x-1x^10-1
c) lim x 0^+ x e^1 / x
d) lim x +infty e^3 xx^2
e) lim x +infty ln (x)e^3 x
f) lim x +infty(x^2+1)^1ln (x)
g) lim x 0^+(1x+ln (x))
h) lim x +infty x^3 e^-4 x
i) lim x 0^+ sen(x) ln (x)
j) lim x 0^+(sen(x))^x
k) lim x 0 x^sen(x)
l) lim x 0 e^x-cos xx
m) lim x 0 x^2ln (sec (x))
n) lim x 0 3^sin (x)-1x
o) lim x 0 x sin x1-cos x
p) lim x 0^+ ln (x^2+2 x)ln x
q) lim x +infty(ln (2 x)-ln (x+1))
r) lim x 0 x 2^x2^x-1

Passo 1

O exercício pede para calcular 18 limites diferentes, envolvendo funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas. Vamos usar diversas técnicas: verificação de indeterminações, fatoração, regra de L’Hôpital, expansões em série de Taylor e comparação de crescimentos. A matéria principal é limites e indeterminações.

Passo 2

Para (a) temos xto -1 em 4x^3+x^2+3x^5+1. Avaliando direto dá 0/0, então fatoramos x+1: numerador e denominador têm fator x+1. Após cancelamento, substituindo x=-1 obtemos 10/5=2.

Passo 3

Em (b), xto1 em x^100-x^2+x-1x^10-1 0/0. Aplicamos regra de L’Hôpital: derivada do numerador é 100x^99-2x+1, do denominador 10x^9. Avaliando em x=1 resulta (100-2+1)/10=99/10.

Passo 4

No item ©, limxto0^+ x e^1/x: quando xto0^+, 1/xto+infty faz e^1/xto+infty. Como e^1/x cresce muito mais que x vai a zero, o produto tende a +infty.

Passo 5

Para (d), limxto+infty e^3x/x^2. Exponencial cresce muito mais que polinômio, logo o quociente vai a +infty.

Passo 6

Em (e), limxto+infty ln(x)/e^3x. Novamente exponencial domina logaritmo, então o limite é 0.

Passo 7

No caso (f), limxto+infty(x^2+1)^1/ln x. Fazemos y=(x^2+1)^1/ln x e tomamos logaritmo:
ln y = ln(x^2+1)ln x
Para grandes x, ln(x^2+1)sim2ln x, então ln yto2. Assim yto e^2.

Passo 8

Em (g), limxto0^+l(1/x + ln xr). Aqui 1/xto+infty e ln xto-infty, mas 1/x domina, dando +infty.

Passo 9

Para (h), limxto+infty x^3 e^-4x. A exponencial decrescente domina o polinômio, resultado 0.

Passo 10

No item (i), limxto0^+sin(x)ln(x). Como sin xsim x, o produto xln xto0. Logo o limite é 0.

Passo 11

Em (j), limxto0^+(sin x)^x. Escrevemos (sin x)^x=expl(xln(sin x)r). Para xto0, ln(sin x)simln x e xln xto0. Assim o limite é e^0=1.

Passo 12

No item (k), limxto0 x^sin x. Similar ao anterior: x^sin x=exp(sin xln x), e sin xln xsim xln xto0. Logo dá 1.

Passo 13

Para (l), limxto0e^x-cos xx. Expandindo: e^x=1+x+O(x^2) e cos x=1 - x^2/2+O(x^4). A diferença é x+O(x^2), dividindo por x tende a 1.

Passo 14

Em (m), limxto0x^2ln(sec x). Sabendo sec x=1/(cos x)sim1+ x^2/2, então ln(sec x)sim x^2/2. Assim o quociente vai para 2.

Passo 15

No caso (n), limxto03^sin x-1x. Temos 3^sin x=e^sin xln3=1+sin xln3+O(x^2). Divide por x ln3.

Passo 16

Em (o), limxto0xsin x1-cos x. Com séries: xsin xsim x^2 e 1-cos xsim x^2/2. A razão vale 2.

Passo 17

Para §, limxto0^+ln(x^2+2x)ln x. Note que ln(x^2+2x)=ln x + ln(x+2). Logo o quociente é 1+ln(x+2)ln x e ln(x+2)toln2 enquanto ln xto-infty, termo extra some, ficando 1.

Passo 18

No (q), limxto+infty[ln(2x)-ln(x+1)] = lnl(2x/(x+1)r)toln2.

Passo 19

Finalmente ®, limxto0 x2^x2^x-1. Para xto0, 2^x-1sim xln2. Então x2^x/(2^x-1)sim x/(xln2)=1/ln2.

Resposta

a) 2; b) 99/10; c) +∞; d) +∞; e) 0; f) e^{2}; g) +∞; h) 0; i) 0; j) 1; k) 1; l) 1; m) 2; n) ln 3; o) 2; p) 1; q) ln 2; r) 1/ln 2

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