Calcule os limites:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
Passo 1
O exercício pede para calcular 18 limites diferentes, envolvendo funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas. Vamos usar diversas técnicas: verificação de indeterminações, fatoração, regra de L’Hôpital, expansões em série de Taylor e comparação de crescimentos. A matéria principal é limites e indeterminações.
Passo 2
Para (a) temos
em
. Avaliando direto dá
, então fatoramos
: numerador e denominador têm fator
. Após cancelamento, substituindo
obtemos
.
Passo 3
Em (b),
em
dá
. Aplicamos regra de L’Hôpital: derivada do numerador é
, do denominador
. Avaliando em
resulta
.
Passo 4
No item ©,
: quando
,
faz
. Como
cresce muito mais que
vai a zero, o produto tende a
.
Passo 5
Para (d),
. Exponencial cresce muito mais que polinômio, logo o quociente vai a
.
Passo 6
Em (e),
. Novamente exponencial domina logaritmo, então o limite é
.
Passo 7
No caso (f),
. Fazemos
e tomamos logaritmo:
Para grandes
,
, então
. Assim
.
Passo 8
Em (g),
. Aqui
e
, mas
domina, dando
.
Passo 9
Para (h),
. A exponencial decrescente domina o polinômio, resultado
.
Passo 10
No item (i),
. Como
, o produto
. Logo o limite é
.
Passo 11
Em (j),
. Escrevemos
. Para
,
e
. Assim o limite é
.
Passo 12
No item (k),
. Similar ao anterior:
, e
. Logo dá
.
Passo 13
Para (l),
. Expandindo:
e
. A diferença é
, dividindo por
tende a
.
Passo 14
Em (m),
. Sabendo
, então
. Assim o quociente vai para
.
Passo 15
No caso (n),
. Temos
. Divide por
dá
.
Passo 16
Em (o),
. Com séries:
e
. A razão vale
.
Passo 17
Para §,
. Note que
. Logo o quociente é
e
enquanto
, termo extra some, ficando
.
Passo 18
No (q),
.
Passo 19
Finalmente ®,
. Para
,
. Então
.
Resposta
a) 2; b) 99/10; c) +∞; d) +∞; e) 0; f) e^{2}; g) +∞; h) 0; i) 0; j) 1; k) 1; l) 1; m) 2; n) ln 3; o) 2; p) 1; q) ln 2; r) 1/ln 2