Considere f(x, y)=1-x y cos (pi x).
Utilize aproximação linear para calcular
1-(1,02)(0,97) cos (0,97 pi)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para usar a aproximação linear para calcular a expressão 1 - (1,02)(0,97) cos (0,97 pi). O conteúdo que vamos usar aqui é o de aproximação linear e derivadas parciais. Para isso, precisaremos calcular as derivadas parciais da função f(x, y) = 1 - x y cos(pi x) e avaliá-las em um ponto próximo ao qual vamos aproximar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto ao qual vamos aproximar. Observando os valores x = 1,02 e y = 0,97, percebemos que estão próximos de x = 1 e y = 1. Então, vamos fazer a aproximação em torno do ponto (1, 1).

Passo 3

Vamos calcular o valor da função f(x, y) no ponto (1, 1):
f(1, 1) = 1 - (1)(1) cos(pi cdot 1) = 1 - cos(pi) = 1 - (-1) = 2
Então, f(1, 1) = 2.

Passo 4

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y. Vamos começar com a derivada parcial em relação a x:
fx(x, y) = partialpartial x [1 - x y cos(pi x)] = -y cos(pi x) + x y pi sin(pi x)
Avaliando em (1, 1):
fx(1, 1) = -1 cdot cos(pi cdot 1) + 1 cdot 1 cdot pi sin(pi cdot 1) = -(-1) + pi cdot 0 = 1
Então, fx(1, 1) = 1.

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a y:
fy(x, y) = partialpartial y [1 - x y cos(pi x)] = -x cos(pi x)
Avaliando em (1, 1):
fy(1, 1) = -1 cdot cos(pi cdot 1) = -(-1) = 1
Então, fy(1, 1) = 1.

Passo 6

Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a fórmula da aproximação linear:
f(x, y) approx f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Aqui, a = 1 e b = 1, então:
f(1,02, 0,97) approx f(1, 1) + fx(1, 1)(1,02 - 1) + fy(1, 1)(0,97 - 1)
Substituindo os valores:
f(1,02, 0,97) approx 2 + 1 cdot 0,02 + 1 cdot (-0,03) = 2 + 0,02 - 0,03 = 1,99

Resposta

A aproximação linear de 1 - (1,02)(0,97) cos (0,97 pi) é 1,99.

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