Use a regra de La)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
, com
s)
t)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
Passo 1
A questão pede para calcular vários limites de funções usando técnicas como expansão em série de Taylor, regras de l’Hôpital e limites notáveis de funções trigonométricas e exponenciais.
Vamos listar as expansões de Taylor em torno de x=0 que usaremos com frequência:
Vamos listar as expansões de Taylor em torno de x=0 que usaremos com frequência:
[\arcsin x=x+\frac{x{3}}{6}+O(x{5}),\quad\cot x=\frac{1}{x}-\frac{x}{3}+O(x^{3}),\quad\csc x=\frac{1}{x}+\frac{x}{6}+O(x^{3}).
Passo 2
a) Para
, use
. Logo o quociente tende a
.
b) Para , use
. O quociente tende a
.
c) Em , temos
e
. O produto tende a
.
d) Em para
,
. Então
.
e) Para , use
e
. O quociente
.
f) Em ,
. Subtraindo
sobra
.
g) Para , temos
e
. A diferença tende a
.
h) cresce sem limite se
. Logo o limite é
.
i) Em , note que
quando
. Então tende a
.
j) e
para
. Resultado
.
k) Para com
, escreva
, o expoente
. Logo
.
l) .
m) .
n) .
o) para
pois denomina- dor domina.
p) .
q) .
r) com
e
tende a 0 pelo fator
.
s) com
dá
. Resultado 1.
t) .
b) Para
c) Em
d) Em
e) Para
f) Em
g) Para
h)
i) Em
j)
k) Para
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
Resposta
a) 1/2 b) 1 c) 3 d) 1 e) 0 f) 0 g) 1/2 h) +∞ i) 1 j) 1 k) 1/e l) e^{-2} m) e^{6} n) 1 o) 0 p) e^{4} q) +∞ r) 0 s) 1 t) e