Use a regra de La) lim x 0 e^x-x-1x^2
b) lim x 0 arcsen(x)x
c) lim x 0 cotg(2 x) sen(6 x)
d) lim x +infty x tg(1x)
e) lim x 0(cosec x-cotg x)
f) lim x 0(cotg x-1x)
g) lim x 0^+(1x-1e^x-1)
h) lim x +infty(x-ln x)
i) lim x 0 x^raizx
j) lim x +infty x^1 / x
k) lim x 1^+ x^1 /(1-x)
l) lim x 0(1-2 x)^1 / x
m) lim x +infty(1+2x)^3 x
n) lim x 0^+(tg(2 x))^x
o) lim x +infty ln xraiz[3]x
p) lim x 0^+(1+sen(4 x))^cotg x
q) lim x +0(1x^2-1sen x)
r) lim x 0^+ x^r ln x, com r>0
s) lim x pi / 2^-(cos x)^cos x
t) lim x +infty(e^x+x)^1 / x

Passo 1

A questão pede para calcular vários limites de funções usando técnicas como expansão em série de Taylor, regras de l’Hôpital e limites notáveis de funções trigonométricas e exponenciais.
Vamos listar as expansões de Taylor em torno de x=0 que usaremos com frequência:
e^x=1+x+x^22+O(x^3),
sin x=x-x^36+O(x^5),tan x=x+x^33+O(x^5),
[\arcsin x=x+\frac{x{3}}{6}+O(x{5}),\quad\cot x=\frac{1}{x}-\frac{x}{3}+O(x^{3}),\quad\csc x=\frac{1}{x}+\frac{x}{6}+O(x^{3}).

Passo 2

a) Para limxto0e^x-x-1x^2, use e^x-x-1=x^22+O(x^3). Logo o quociente tende a tfrac12.
b) Para limxto0arcsin xx, use arcsin x=x+O(x^3). O quociente tende a 1.
c) Em cot(2x)sin(6x), temos cot(2x)approx12x e sin(6x)approx6x. O produto tende a 3.
d) Em xtan(1/x) para xto+infty, tan(1/x)approx1/x. Então xcdot(1/x)to1.
e) Para csc x-cot x=1-cos xsin x, use 1-cos xapproxtfracx^22 e sin xapprox x. O quociente approx x/2to0.
f) Em cot x-1x, cot x=1x-x3+O(x^3). Subtraindo 1/x sobra -x/3+O(x^3)to0.
g) Para 1x-1e^x-1, temos e^x-1=x+tfracx^22+O(x^3) e 1/(e^x-1)=1/x-1/2+O(x). A diferença tende a 1/2.
h) x-ln x cresce sem limite se xto+infty. Logo o limite é +infty.
i) Em x^raizx=e^raizxln x, note que raizxln xto0 quando xto0^+. Então tende a e^0=1.
j) x^1/x=e^(ln x)/x e (ln x)/xto0 para xto+infty. Resultado 1.
k) Para x^1/(1-x) com xto1^+, escreva x=1+h, o expoente 1/(1-x)=-1/h. Logo (1+h)^-1/hto e^-1.
l) (1-2x)^1/x=e^(1/x)ln(1-2x)approx e^(1/x)(-2x)=e^-2.
m) (1+2/x)^3x=e^3xln(1+2/x)approx e^3xcdot(2/x)=e^6.
n) (tan(2x))^x=(2x+O(x^3))^x=e^xln(2x+O(x^3))to e^0=1.
o) ln xx^1/3to0 para xto+infty pois denomina- dor domina.
p) (1+sin(4x))^cot xapprox(1+4x)^1/xto e^4.
q) 1x^2-1sin x=1x^2-l(1x+O(x)r)to+infty.
r) x^rln x com r>0 e xto0^+ tende a 0 pelo fator x^r.
s) (cos x)^cos x=e^cos xln(cos x) com u=cos xto0^+ uln uto0. Resultado 1.
t) (e^x+x)^1/x=e^(1/x)ln(e^x(1+x/e^x))to e^1=e.

Resposta

a) 1/2 b) 1 c) 3 d) 1 e) 0 f) 0 g) 1/2 h) +∞ i) 1 j) 1 k) 1/e l) e^{-2} m) e^{6} n) 1 o) 0 p) e^{4} q) +∞ r) 0 s) 1 t) e

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