Determine os pontos de máximos e mínimos (local e global) das funções:
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos os pontos de máximo e mínimo, tanto locais quanto globais, de quatro funções diferentes. Vamos usar cálculo de derivadas para achar pontos críticos (onde
ou
não existe) e depois estudar o sinal de
para classificar esses pontos. A teoria principal é: onde
muda de positivo para negativo, há máximo local; onde muda de negativo para positivo, mínimo local; nos extremos de intervalo fechado podemos ter extremos globais.
Passo 2
Para
, calculamos a derivada usando quociente:
Igualando
obtém-se
, isto é,
.
Estudando o sinal de : para
,
(função cresce); para
,
(função decresce). Logo, em
temos mínimo local com
, e em
máximo local com
. Como
, esses são também máximo global (em
) e mínimo global (em
).
Estudando o sinal de
Passo 3
Para
, usamos produto e cadeia:
Fazendo
obtemos
ou
.
Como sempre, o sinal de
vem de
: cresce em
e decresce em
. Logo
é máximo local (e o valor é
). Não há mínimo local. Como
e
, não existe mínimo global, mas o máximo local é máximo global.
Como
Passo 4
Para
em
, derivamos:
Temos
quando
, isto é,
dentro de
.
Checando o sinal de : em
temos
, e em
. Logo
é máximo local com
. Nos extremos do intervalo,
e
, logo o mínimo global ocorre em
com valor
, e o máximo global ocorre em
.
Checando o sinal de
Passo 5
Para
, seja
. Então
Os pontos críticos surgem de numerador zero:
e
, e de pontos onde a derivada não existe:
e
(pois
).
Analisando nos intervalos, vê-se que em
temos
, em
, e em
. Assim
é máximo local com
, e
é mínimo local com
. Não existem extremos globais porque
quando
e
quando
.
Analisando
Resposta
(a) Máximo local e global em x=1 com f(1)=1/2; mínimo local e global em x=-1 com f(-1)=-1/2.
(b) Máximo local (e global) em x=1/2 com f(1/2)=e^{-1}/2; não há mínimo local nem global.
© Máximo local e global em x=π/4 com f(π/4)=√2; mínimo global em x=π com f(π)=-1.
(d) Máximo local em x=0 com f(0)=0; mínimo local em x=2/3 com f(2/3)=-√[3]{4}/3; não há extremos globais.
(b) Máximo local (e global) em x=1/2 com f(1/2)=e^{-1}/2; não há mínimo local nem global.
© Máximo local e global em x=π/4 com f(π/4)=√2; mínimo global em x=π com f(π)=-1.
(d) Máximo local em x=0 com f(0)=0; mínimo local em x=2/3 com f(2/3)=-√[3]{4}/3; não há extremos globais.