Determine os pontos de máximos e mínimos (local e global) das funções:
(a) f(x)=x1+x^2
(b) f(x)=x e^-2 x
© f(x)=sen(x)+cos (x), x in[0, pi]
(d) f(x)=raiz[3]x^3-x^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os pontos de máximo e mínimo, tanto locais quanto globais, de quatro funções diferentes. Vamos usar cálculo de derivadas para achar pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe) e depois estudar o sinal de f' para classificar esses pontos. A teoria principal é: onde f' muda de positivo para negativo, há máximo local; onde muda de negativo para positivo, mínimo local; nos extremos de intervalo fechado podemos ter extremos globais.

Passo 2

Para f(x)=x1+x^2, calculamos a derivada usando quociente:
f'(x)=(1+x^2)cdot1 - xcdot2x(1+x^2)^2=1 - x^2(1+x^2)^2
Igualando f'(x)=0 obtém-se 1-x^2=0, isto é, x=pm1.
Estudando o sinal de f'(x)=1-x^2(1+x^2)^2: para |x|<1, f'>0 (função cresce); para |x|>1, f'<0 (função decresce). Logo, em x=-1 temos mínimo local com f(-1)=-tfrac12, e em x=1 máximo local com f(1)=tfrac12. Como limxtopminftyf(x)=0, esses são também máximo global (em x=1) e mínimo global (em x=-1).

Passo 3

Para f(x)=x e^-2x, usamos produto e cadeia:
f'(x)=e^-2x+x(-2)e^-2x=e^-2x(1-2x)
Fazendo f'(x)=0 obtemos 1-2x=0 ou x=tfrac12.
Como e^-2x>0 sempre, o sinal de f' vem de 1-2x: cresce em x e decresce em x>tfrac12. Logo x=tfrac12 é máximo local (e o valor é f(tfrac12)=tfrac12 e^-1). Não há mínimo local. Como limxto-inftyf(x)=-infty e limxto+inftyf(x)=0, não existe mínimo global, mas o máximo local é máximo global.

Passo 4

Para f(x)=sin x+cos x em [0,pi], derivamos:
f'(x)=cos x - sin x
Temos f'(x)=0 quando tan x=1, isto é, x=tfracpi4 dentro de [0,pi].
Checando o sinal de f'(x): em [0,tfracpi4) temos f'>0, e em (tfracpi4,pi] f'<0. Logo x=tfracpi4 é máximo local com f(tfracpi4)=raiz2. Nos extremos do intervalo, f(0)=1 e f(pi)=-1, logo o mínimo global ocorre em x=pi com valor -1, e o máximo global ocorre em x=tfracpi4.

Passo 5

Para f(x)=raiz[3]x^3-x^2=(x^3-x^2)^1/3, seja g(x)=x^3-x^2. Então
f'(x)=tfrac13g(x)^-2/3g'(x)=x(3x-2)3(x^3-x^2)^2/3
Os pontos críticos surgem de numerador zero: x=0 e x=tfrac23, e de pontos onde a derivada não existe: x=0 e x=1 (pois g=0).
Analisando f' nos intervalos, vê-se que em ( -infty,0) temos f'>0, em (0,tfrac23) f'<0, e em (tfrac23,infty) f'>0. Assim x=0 é máximo local com f(0)=0, e x=tfrac23 é mínimo local com f(tfrac23)=-tfracraiz[3]43. Não existem extremos globais porque f(x)to-infty quando xto-infty e f(x)to+infty quando xto+infty.

Resposta

(a) Máximo local e global em x=1 com f(1)=1/2; mínimo local e global em x=-1 com f(-1)=-1/2.
(b) Máximo local (e global) em x=1/2 com f(1/2)=e^{-1}/2; não há mínimo local nem global.
© Máximo local e global em x=π/4 com f(π/4)=√2; mínimo global em x=π com f(π)=-1.
(d) Máximo local em x=0 com f(0)=0; mínimo local em x=2/3 com f(2/3)=-√[3]{4}/3; não há extremos globais.

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