Calcule os limites:
lim h 0 raiz[3]8+h^3-2h

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite lim h 0 raiz[3]8+h^3-2h. Esse exercício tá dentro do conteúdo de limites, que é uma parte fundamental do Cálculo. Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como manipular expressões com raízes e aplicar algumas técnicas de álgebra para simplificar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro da raiz cúbica: 8 + h^3. Sabemos que raiz[3]8 = 2, porque 2^3 = 8. Então, nosso objetivo é ver como essa expressão se comporta quando h se aproxima de zero.

Passo 3

Vamos usar uma técnica de álgebra para simplificar a diferença de raízes. Sabemos que:
raiz[3]a - raiz[3]b = a - braiz[3]a^2 + raiz[3]ab + raiz[3]b^2
Nesse caso, a = 8 + h^3 e b = 8. Aplicando isso, temos:
raiz[3]8 + h^3 - 2 = (8 + h^3) - 8raiz[3](8 + h^3)^2 + raiz[3](8 + h^3) cdot 8 + raiz[3]8^2
Simplificando o numerador:
h^3raiz[3](8 + h^3)^2 + raiz[3]8(8 + h^3) + raiz[3]64

Passo 4

Agora, vamos analisar o denominador quando h se aproxima de zero:
  • raiz[3](8 + h^3)^2 tende a raiz[3]8^2 = raiz[3]64 = 4
  • raiz[3]8(8 + h^3) tende a raiz[3]64 = 4
  • raiz[3]64 = 4
Então, o denominador fica aproximadamente 4 + 4 + 4 = 12 quando h é muito pequeno.

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original, temos:
h^312
Mas atenção: a nossa expressão inicial era:
raiz[3]8 + h^3 - 2h = h^312h = h^212

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando h tende a 0:
limh to 0 h^212 = 012 = 0

Resposta

0

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