Calcule os limites: lim x longrightarrow 2^+ f(x), lim x longrightarrow 2^- f(x) e lim x longrightarrow 2 f(x) para f(x)=x^3-4 x^2+x+6|2 x^2-9 x+10|

Passo 1

Temos a função
f(x)=x^3-4x^2+x+6lvert 2x^2-9x+10rvert
e queremos calcular limxto2^+f(x), limxto2^-f(x) e limxto2f(x). O conteúdo é limites laterais de função com valor absoluto, e vamos usar fatoração e estudo de sinais.

Passo 2

Vamos fatorar numerador e o polinômio dentro do valor absoluto no denominador. Para o numerador temos:
x^3-4x^2+x+6=(x-2)(x-3)(x+1)
Para o denominador:
2x^2-9x+10=(x-2)(2x-5),
de modo que
f(x)=(x-2)(x-3)(x+1)lvert(x-2)(2x-5)rvert =(x-3)(x+1)lvert2x-5rvertcdotx-2lvert x-2rvert

Passo 3

Para calcular os limites laterais, lembramos que
x-2lvert x-2rvert=+1,&x>2,-1,&x<2 e que perto de x=2 temos lvert2x-5rvert=lvert4-5rvert=1.

Passo 4

No caso xto2^+ (lado direito), x>2 implica tfracx-2lvert x-2rvert=+1. Logo
limxto2^+f(x)=(2-3)(2+1)1cdot1=-31=-3

Passo 5

No caso xto2^- (lado esquerdo), x<2 implica tfracx-2lvert x-2rvert=-1. Logo
limxto2^-f(x)=(2-3)(2+1)1cdot(-1)=-31cdot(-1)=3
Como os limites laterais são diferentes, o limite limxto2f(x) não existe.

Resposta

limxto2^+f(x)=-3, limxto2^-f(x)=3, limxto2f(x) não existeã

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