Considere a função , definida implicitamente por e . Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função z = f(x, y) definida de forma implícita por F(x, y, z) = x^3 z - 2 x y + y z^2 = 1. Queremos encontrar a derivada parcial de z em relação a y no ponto P(1, 0, 1). Para resolver isso, vamos usar a derivada implícita, que é útil quando z não está isolado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, para encontrar partial zpartial y, derivamos a equação F(x, y, z) = 1 em relação a y, tratando z como uma função de y. Isso significa que precisamos aplicar a regra da cadeia nas partes que envolvem z.
Passo 3
Vamos derivar cada termo de F(x, y, z) em relação a y:
Derivada de x^3 z em relação a y: x^3 partial zpartial y
Derivada de -2xy em relação a y: -2x
Derivada de y z^2 em relação a y: z^2 + 2y z partial zpartial y
Passo 4
Juntando tudo, a derivada de F em relação a y fica:
x^3 partial zpartial y - 2x + z^2 + 2y z partial zpartial y = 0
Passo 5
Agora, vamos resolver para partial zpartial y:
(x^3 + 2y z) partial zpartial y = 2x - z^2
partial zpartial y = 2x - z^2x^3 + 2y z
Passo 6
Finalmente, substituímos as coordenadas do ponto P(1, 0, 1) na expressão: