Considere a função z=f(x, y), definida implicitamente por F(x, y, z)=x^3 z-2 x y+y z^2=1 e P(1,0,1). Calcule:
partial zpartial y|P=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função z = f(x, y) definida de forma implícita por F(x, y, z) = x^3 z - 2 x y + y z^2 = 1. Queremos encontrar a derivada parcial de z em relação a y no ponto P(1, 0, 1). Para resolver isso, vamos usar a derivada implícita, que é útil quando z não está isolado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, para encontrar partial zpartial y, derivamos a equação F(x, y, z) = 1 em relação a y, tratando z como uma função de y. Isso significa que precisamos aplicar a regra da cadeia nas partes que envolvem z.

Passo 3

Vamos derivar cada termo de F(x, y, z) em relação a y:
  1. Derivada de x^3 z em relação a y: x^3 partial zpartial y
  2. Derivada de -2xy em relação a y: -2x
  3. Derivada de y z^2 em relação a y: z^2 + 2y z partial zpartial y

Passo 4

Juntando tudo, a derivada de F em relação a y fica:
x^3 partial zpartial y - 2x + z^2 + 2y z partial zpartial y = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver para partial zpartial y:
(x^3 + 2y z) partial zpartial y = 2x - z^2
partial zpartial y = 2x - z^2x^3 + 2y z

Passo 6

Finalmente, substituímos as coordenadas do ponto P(1, 0, 1) na expressão:
partial zpartial y g|P = 2(1) - (1)^2(1)^3 + 2(0)(1) = 2 - 11 + 0 = 11 = 1

Resposta

partial zpartial y|P = 1

Exercícios relacionados