Considere a função
, definida implicitamente por
e
. Calcule:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ z = f(x, y) $ que está definida implicitamente pela equação $ F(x, y, z) = x^{3} z - 2xy + y z^{2} = 1 $. Queremos calcular a derivada parcial $ \frac{\partial z}{\partial x} $ no ponto $ P(1, 0, 1) $. Para isso, vamos usar o método de diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas quando as funções estão definidas de forma indireta.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é diferenciação implícita. Quando temos uma equação que relaciona várias variáveis (neste caso, $ x $, $ y $ e $ z $), e queremos encontrar a derivada de uma variável em relação a outra, mantemos as demais constantes ou consideramos como funções dependentes.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ F $ em relação a $ x $ e a $ z $:
Essas derivadas nos ajudam a usar a fórmula da diferenciação implícita.
Passo 4
A fórmula para a derivada $ \frac{\partial z}{\partial x} $ é dada por:
Isso significa que vamos substituir as derivadas parciais que calculamos nessa fórmula.
Passo 5
Agora vamos substituir as coordenadas do ponto $ P(1, 0, 1) $ nas expressões de $ F_x $ e $ F_z $:
Agora, aplicamos na fórmula da derivada: