Use os três primeiros termos da série de Taylor para calcular:
;
Passo 1
Então, temos um exercício que pede para calcular a integral de $ e{-x{2}} $ de 0 a 1 usando os três primeiros termos da série de Taylor. Vamos trabalhar com a matemática das séries de Taylor e integração para resolver isso. Precisamos entender como expandir $ e{-x{2}} $ em uma série e depois integrar os primeiros três termos dessa expansão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função $ f(x) $ em torno de $ x = 0 $ (também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
No nosso caso, a função é $ e{-x{2}} $. Vamos encontrar os três primeiros termos dessa série.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ e{-x{2}} $ avaliadas em $ x = 0 $:
-
$ f(x) = e{-x{2}} $
$ f(0) = e^{0} = 1 $ -
$ f’(x) = -2x e{-x{2}} $
$ f’(0) = 0 $ (porque multiplica por $ x $) -
$ f’’(x) = (-2)e{-x{2}} + (-2x)(-2x)e{-x{2}} = (-2 + 4x{2})e{-x^{2}} $
$ f’’(0) = -2 $ -
$ f’’’(x) = [8x]e{-x{2}} $
$ f’’’(0) = 0 $
Então, os três primeiros termos da série de Taylor são:
Mas como precisamos de três termos, vamos incluir o próximo termo não nulo, que é o $ x^{4} $.
Calculando o próximo termo:
- $ f’’’’(x) = (8 - 16x{2})e{-x^{2}} $
$ f’’’’(0) = 8 $
Então, o próximo termo é $ \frac{8}{4!}x^{4} = \frac{8}{24}x^{4} = \frac{1}{3}x^{4} $
Portanto, os três primeiros termos são:
Passo 4
Agora, vamos integrar essa aproximação de 0 a 1:
Vamos integrar termo por termo.
Passo 5
Integrando cada termo separadamente:
-
$ \int_{0}^{1} 1 , dx = x \Big|_{0}^{1} = 1 - 0 = 1 $
-
$ \int_{0}^{1} -x^{2} , dx = -\frac{x^{3}}{3} \Big|_{0}^{1} = -\frac{1}{3} + 0 = -\frac{1}{3} $
-
$ \int_{0}^{1} \frac{1}{3}x^{4} , dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{5}}{5} \Big|_{0}^{1} = \frac{1}{15} - 0 = \frac{1}{15} $
Passo 6
Agora, somamos os resultados das integrais:
Vamos encontrar um denominador comum para somar as frações. O denominador comum entre 1, 3 e 15 é 15:
Somando:
Resposta
A aproximação da integral $ \int_{0}^{1} e{-x{2}} dx $ usando os três primeiros termos da série de Taylor é $ \frac{11}{15} $, ou aproximadamente 0,733.