Calcule os limites: lim x (2 / 3)^+ f(x), lim x (2 / 3)^- f(x) e lim x longrightarrow 2 / 3 f(x) para f(x)=|3 x-2|2-3 x

Passo 1

O enunciado pede os limites laterais e o limite bilateral de
f(x)= |3x-2|2-3x em x→2/3. O tema envolve funções definidas por valor absoluto e a propriedade que relaciona |A|.

Passo 2

Primeiro, note que 2−3x=−(3x−2). Então podemos reescrever
f(x)=|3x-2|2-3x=|3x-2|-(3x-2)=-|3x-2|3x-2
Isso mostra que f(x)=-sign(3x-2) para x≠2/3.

Passo 3

Para x→(2/3)^+, temos 3x−2>0, logo sign(3x−2)=+1 e
f(x)=-1
Portanto
limxto(2/3)^+f(x)=-1

Passo 4

Para x→(2/3)^-, temos 3x−2<0, logo sign(3x−2)=−1 e
f(x)=-(-1)=+1
Portanto
limxto(2/3)^-f(x)=1

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes, o limite bilateral não existe.

Resposta

limxto(2/3)^+f(x)=-1, limxto(2/3)^-f(x)=1, limxto2/3f(x) não existe.

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