(Problema de Dirichlet para a Equação de Laplace na Cunha) Encontre a solução para os seguintes problemas na cunha
(a) se 0 e 0, se 0 <= r <= 1, se 0 <= theta <= pi / 2.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de Dirichlet para a equação de Laplace em coordenadas polares, numa cunha de ângulo pi/2. As condições de contorno são: em theta=0 e theta=pi/2 temos u(r,theta)=r, e em r=1 temos u(1,theta)=1. Vamos usar separação de variáveis e uma função de “correção” para lidar com as condições não homogêneas nas arestas da cunha.
Passo 2
Queremos primeiro encontrar uma função v(r,theta) harmônica que satisfaça exatamente as condições em theta=0 e theta=pi/2. Note que as funções x=rcostheta e y=rsintheta são harmônicas (são parte real e imaginária de z=re^itheta). Se você somar, obtém
v(r,theta)=x+y=r(costheta+sintheta)
e verifica-se que v(r,0)=r(1+0)=r e v(r,pi/2)=r(0+1)=r, exatamente o que queremos nas arestas. Além disso v é harmônica.
Passo 3
Agora definimos a parte remanescente
w(r,theta)=u(r,theta)-v(r,theta)
Esta função w satisfaz Laplace, tem w(r,0)=w(r,pi/2)=0 e na fronteira circular r=1 w(1,theta)=u(1,theta)-v(1,theta)=1-(sintheta+costheta),
Como w vale zero nas arestas da cunha, podemos expandi-la em série de modos angulares
w(r,theta)=sumn=1^inftybn,r^2nsin(2ntheta)
onde cada termo r^2nsin(2ntheta) é harmônico e zero em theta=0,,pi/2.
Passo 4
Para determinar os coeficientes bn usamos a condição em r=1:
sumn=1^inftybnsin(2ntheta)=1-sintheta-costheta,, 0
e fazemos a projeção em cada sin(2ntheta). O resultado é bn=4piintegral0^pi/2l(1-sinphi-cosphir)sin(2nphi),dphi,, n=1,2,dots
Passo 5
Assim temos todos os coeficientes e a solução completa é a soma de v com w.
Resposta
A solução do problema é
u(r,theta)=r(costheta+sintheta)+sumn=1^inftybn,r^2nsin(2ntheta)
onde