Calcule os limites:
lim n infty sumk=0^n 1(3 k+2)(3 k+5)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da soma infinita
limn to infty sumk=0^n 1(3k+2)(3k+5)
O conteúdo utilizado será decomposição em frações parciais e soma telescópica.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais para o termo genérico:
1(3k+2)(3k+5) = A3k+2 + B3k+5
Igualando numeradores obtemos
A(3k+5) + B(3k+2) = 1
Comparando coeficientes de k e termo constante, resulta em
3A + 3B = 0, 5A + 2B = 1
que dá
A = tfrac13, B = -tfrac13
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1(3k+2)(3k+5) = 13l(13k+2-13k+5r)

Passo 3

Substituindo na soma parcial Sn:
Sn = sumk=0^n 1(3k+2)(3k+5) = 13sumk=0^nl(13k+2-13k+5r)
É uma soma telescópica, pois quase todos os termos se cancelam, restando
Sn = 13l(12 - 13n+5r)

Passo 4

Tomando o limite quando ntoinfty:
limntoinftySn = 13l(12 - 0r) = 16

Resposta

16

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