Questão 3.
Dada z=e^xy onde x=u cos v e y=u sen v, mostre que partial zpartial u=0.

Passo 1

O enunciado dá a função
z = e^xy
com as transformações
x = ucos v, y = usin v
O objetivo é calcular a derivada parcial partial zpartial u. Para isso vamos usar a regra da cadeia e as derivadas parciais de z em relação a x e y, além de partial x/partial u e partial y/partial u.

Passo 2

Calculemos primeiro as derivadas parciais de z em relação a x e a y. Como
z = e^xy,
temos
partial zpartial x = e^xycdot1y, partial zpartial y = e^xycdotgl(-xy^2gr)
Também
partial xpartial u = cos v, partial ypartial u = sin v

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para partial zpartial u, obtemos
partial zpartial u = partial zpartial x,partial xpartial u + partial zpartial y,partial ypartial u = e^xyl(1ycos v - xy^2sin vr)

Passo 4

Colocando tudo sobre um mesmo denominador e fatorando e^xy,
partial zpartial u = e^xy;ycos v - xsin vy^2
Mas substituindo x = ucos v e y = usin v, o numerador vira
ycos v - xsin v = (usin v)cos v - (ucos v)sin v = u(sin vcos v - cos vsin v) = 0
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partial zpartial u = 0

Resposta

partial zpartial u = 0

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