Determine o limite, se existif, ou mostre que o limite năo existe.
lim (x, y) (1, m) ln (1+y^2x^2+x y)

Passo 1

O enunciado pede
lim(x,y)to(1,m) ln!l(1+y^2x^2+x yr)
ou seja, o limite de uma composição lncirc g, onde
g(x,y)=1+y^2x^2+x y,
Para usar continuidade de ln, precisamos antes garantir que g(x,y)>0 num entorno de (1,m).

Passo 2

O domínio de lnl(g(x,y)r) exige
g(x,y)>0 Long<=ftrightarrow 1+y^2x^2+xy>0 Long<=ftrightarrow x^2+x y>0
Fatorando x^2+xy=x(x+y), e observando que para (x,y) perto de (1,m) temos x>0, fica
x(x+y)>0 Long<=ftrightarrow y>-x
Logo o ponto (1,m) é ponto de acumulação do domínio só se m>=-1; se m<-1 existe um pequeno raio em torno de (1,m) onde sempre y<-x e a função nem está definida ali.

Passo 3

Supondo m>-1, então em todo entorno de (1,m) há pontos com y>-x e g é contínua nessa vizinhança. Assim
lim(x,y)to(1,m)g(x,y) =1+m^21cdot(1+m) =1+m^21+m,
e, pela continuidade de ln em l(0,+inftyr),
lim(x,y)to(1,m)ln!l(g(x,y)r) =ln!l(1+m^21+mr)

Passo 4

  • Se m=-1, o denominador x^2+xy tende a zero positivo quando (x,y)to(1,-1) pelo domínio y>-x, logo
    1+y^2x^2+xyto+infty e
    lnl(1+y^2x^2+xyr)to+infty, não havendo limite finito.
  • Se m<-1, (1,m) não é ponto de acumulação do domínio, então não faz sentido falar em limite.

Resposta

  • Se m>-1, lim(x,y)to(1,m)ln!l(1+y^2x^2+x yr) =ln!l(1+m^21+mr)
  • Se m<= -1, o limite não existe (para m=-1 diverge a +infty; para m<-1 a função não está definida num entorno).

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