Questão 2. Calcule, no caso de existir, cada um dos seguintes limites:
a)
b )
c) É contínua na origem ?.
d) É diferenciável na origem ?
f) Calcule nabla f(1,1).
g) Calcule partial fpartial x(0,0).
(Valor 4 pts)
Passo 1
O enunciado pede para calcular dois limites de funções de duas variáveis em
e ainda obter . Vamos usar coordenadas polares para os limites em e regras de derivação para . A continuidade e diferenciabilidade na origem seguem do valor do limite em .
Passo 2
Para
lim(x,y)to(0,0)x,y^3raizx^2+y^2,
usemos r=raizx^2+y^2. Então
l|x,y^3r|<= rcdot r^3=r^4,
e raizx^2+y^2=r, logo
|x,y^3raizx^2+y^2|<=r^4r=r^3longrightarrow0(rto0)
Portanto o limite existe e vale
lim(x,y)to(0,0)x,y^3raizx^2+y^2=0
Passo 3
Para
lim(x,y)to(0,0)x^6+x^2x^2+y^2,
observe dois caminhos:
Se y=0, o quociente é x^6+x^2x^2=x^4+1to1.
Se x=0, o quociente é 0+0y^2=0.
Como os dois caminhos dão resultados diferentes, o limite não existe.
Passo 4
A função f na origem vale f(0,0)=2, mas o limite de x,y^3raizx^2+y^2 em (0,0) é 0neq2. Logo f não é contínua em (0,0).
Passo 5
Como diferenciabilidade em um ponto implica continuidade lá, e f não é contínua em (0,0), concluímos que f também não é diferenciável na origem.
Passo 6
Para (x,y)neq(0,0), escrevemos
f(x,y)=x,y^3,(x^2+y^2)^-1/2
e calculamos as derivadas parciais:
fx =y^3(x^2+y^2)^-1/2 +x,y^3l(-tfrac12r)(x^2+y^2)^-3/2cdot2x =y^5(x^2+y^2)^3/2,
que não converge. Logo partial fpartial x(0,0) não existe.
Resposta
(a) 0
(b) não existe
(c) f não é contínua na origem
(d) f não é diferenciável na origem
(f) nabla f(1,1)=l(tfrac12raiz2,,tfrac52raiz2r)
(g) partial fpartial x(0,0) não existe