Questão 2. Calcule, no caso de existir, cada um dos seguintes limites:
a) lim (x, y) (0,0) x y^3raizx^2+y^2
b ) lim (x, y) (0,0) x^6+x^2x^2+y^2
c) É f(x, y)=lllx y^3raizx^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 2 & se & (x, y)=(0,0) contínua na origem ?.
d) É diferenciável na origem ?
f) Calcule nabla f(1,1).
g) Calcule partial fpartial x(0,0).
(Valor 4 pts)

Passo 1

O enunciado pede para calcular dois limites de funções de duas variáveis em
e ainda obter . Vamos usar coordenadas polares para os limites em e regras de derivação para . A continuidade e diferenciabilidade na origem seguem do valor do limite em .

Passo 2

Para
lim(x,y)to(0,0)x,y^3raizx^2+y^2,
usemos r=raizx^2+y^2. Então
l|x,y^3r|<= rcdot r^3=r^4,
e raizx^2+y^2=r, logo
|x,y^3raizx^2+y^2|<=r^4r=r^3longrightarrow0(rto0)
Portanto o limite existe e vale
lim(x,y)to(0,0)x,y^3raizx^2+y^2=0

Passo 3

Para
lim(x,y)to(0,0)x^6+x^2x^2+y^2,
observe dois caminhos:
  1. Se y=0, o quociente é x^6+x^2x^2=x^4+1to1.
  2. Se x=0, o quociente é 0+0y^2=0.
    Como os dois caminhos dão resultados diferentes, o limite não existe.

Passo 4

A função f na origem vale f(0,0)=2, mas o limite de x,y^3raizx^2+y^2 em (0,0) é 0neq2. Logo f não é contínua em (0,0).

Passo 5

Como diferenciabilidade em um ponto implica continuidade lá, e f não é contínua em (0,0), concluímos que f também não é diferenciável na origem.

Passo 6

Para (x,y)neq(0,0), escrevemos
f(x,y)=x,y^3,(x^2+y^2)^-1/2
e calculamos as derivadas parciais:
fx =y^3(x^2+y^2)^-1/2 +x,y^3l(-tfrac12r)(x^2+y^2)^-3/2cdot2x =y^5(x^2+y^2)^3/2,
fy =3x,y^2,(x^2+y^2)^-1/2 +x,y^3l(-tfrac12r)(x^2+y^2)^-3/2cdot2y =x,y^2,(3x^2+2y^2)(x^2+y^2)^3/2
Em (1,1) isso dá
fx(1,1)=1^5(1+1)^3/2=12raiz2, fy(1,1)=1cdot1^2,(3+2)(2)^3/2=52raiz2
Portanto
nabla f(1,1)=l(tfrac12raiz2,,tfrac52raiz2r)

Passo 7

A derivada parcial em (0,0) é
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-2h =limhto0l(-tfrac2hr),
que não converge. Logo partial fpartial x(0,0) não existe.

Resposta

(a) 0
(b) não existe
(c) f não é contínua na origem
(d) f não é diferenciável na origem
(f) nabla f(1,1)=l(tfrac12raiz2,,tfrac52raiz2r)
(g) partial fpartial x(0,0) não existe

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