A função considerada é \displaystyle f(x,y)=\frac{3x^{2}+5}{x^{2}+y^{2}+2}.
O ponto de interesse é (0,0).
Observação imediata (tirada da própria expressão): como x^{2}\ge 0 e y^{2}\ge 0 para todo (x,y), tem-se \displaystyle x^{2}+y^{2}+2\ge 2>0. Ou seja, o denominador nunca se anula (nem perto de (0,0)), portanto não há problema de divisão por zero.
Passo 2
Calcular os limites das partes (numérica e denominadora) separadamente:
Para o numerador \displaystyle g(x,y)=3x^{2}+5, como x^{2}\to 0 quando x\to 0, segue que
Usar a propriedade de álgebra de limites em várias variáveis: se \lim g=L e \lim h=M com M\neq 0, então
\lim \frac{g}{h}=\frac{L}{M}.
Aqui temos L=5 e M=2\neq 0, portanto a propriedade é aplicável. (Breve justificativa: perto de (0,0) o denominador fica bounded away from zero — por exemplo, como |h(x,y)-2|<1 para pontos suficientemente próximos, então |h(x,y)|>1; com isso a diferença \big|\tfrac{g}{h}-\tfrac{L}{M}\big| pode ser estimada e levada a zero usando que g\to L e h\to M.)
Passo 4
Aplicando a propriedade do passo anterior ao nosso caso,
Também se pode ver intuitivamente que a função é contínua em todo \mathbb{R}^{2} (combinações de polinômios e divisão por função que nunca zera), então o limite no ponto é simplesmente o valor da função nele.