Calcule os limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 x^{2}+5}{x^{2}+y^{2}+2}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{3x^{2}+5}{x^{2}+y^{2}+2}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função considerada é \displaystyle f(x,y)=\frac{3x^{2}+5}{x^{2}+y^{2}+2}.
  • O ponto de interesse é (0,0).
  • Observação imediata (tirada da própria expressão): como x^{2}\ge 0 e y^{2}\ge 0 para todo (x,y), tem-se \displaystyle x^{2}+y^{2}+2\ge 2>0. Ou seja, o denominador nunca se anula (nem perto de (0,0)), portanto não há problema de divisão por zero.

Passo 2

Calcular os limites das partes (numérica e denominadora) separadamente:
  • Para o numerador \displaystyle g(x,y)=3x^{2}+5, como x^{2}\to 0 quando x\to 0, segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y)=\lim_{(x,y)\to(0,0)}(3x^{2}+5)=3\cdot 0+5=5.
  • Para o denominador \displaystyle h(x,y)=x^{2}+y^{2}+2, como x^{2}+y^{2}\to 0 quando (x,y)\to(0,0), segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} h(x,y)=\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^{2}+y^{2}+2)=0+2=2.

Passo 3

Usar a propriedade de álgebra de limites em várias variáveis: se \lim g=L e \lim h=M com M\neq 0, então
\lim \frac{g}{h}=\frac{L}{M}.
Aqui temos L=5 e M=2\neq 0, portanto a propriedade é aplicável. (Breve justificativa: perto de (0,0) o denominador fica bounded away from zero — por exemplo, como |h(x,y)-2|<1 para pontos suficientemente próximos, então |h(x,y)|>1; com isso a diferença \big|\tfrac{g}{h}-\tfrac{L}{M}\big| pode ser estimada e levada a zero usando que g\to L e h\to M.)

Passo 4

Aplicando a propriedade do passo anterior ao nosso caso,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{3x^{2}+5}{x^{2}+y^{2}+2} = \frac{\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}(3x^{2}+5)}{\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^{2}+y^{2}+2)} = \frac{5}{2}.
Também se pode ver intuitivamente que a função é contínua em todo \mathbb{R}^{2} (combinações de polinômios e divisão por função que nunca zera), então o limite no ponto é simplesmente o valor da função nele.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}

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