Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5 x^{3}+2 x}{7 x^{3}-x^{2}+1}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{5x^{3}+2x}{7x^{3}-x^{2}+1}.
Informações dadas que vamos usar:
  • O numerador é o polinômio 5x^{3}+2x.
  • O denominador é o polinômio 7x^{3}-x^{2}+1.
  • O limite é quando x tende para -\infty.

Passo 2

Ideia geral que vou aplicar (a explicação didática vem nos próximos passos): quando se tem uma fração de polinômios e x\to\pm\infty, os termos de maior grau dominam o comportamento. Aqui ambos (numerador e denominador) têm grau \,3. Para trabalhar isso de forma algébrica, fatora-se pelo maior poder de x (aqui x^{3}) e simplifica-se.

Passo 3

Vamos fatorar x^{3} do numerador e do denominador. Primeiro escrevo a fração dividindo cada termo por x^{3}:
\frac{5x^{3}+2x}{7x^{3}-x^{2}+1} = \frac{x^{3}\!\left(5+\dfrac{2}{x^{2}}\right)}{x^{3}\!\left(7-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{3}}\right)} = \frac{5+\dfrac{2}{x^{2}}}{7-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{3}}}.
Observação: esse passo é permitido porque, para x\to -\infty, x^{3}\neq 0, então podemos dividir por x^{3}.

Passo 4

Agora analiso os termos com potências negativas de x. Para todo inteiro positivo k vale
\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x^{k}}=0.
Explicação intuitiva: quando x fica muito grande em módulo, x^{k} cresce muito, então 1/x^{k} fica muito pequeno, tendendo a 0. Note que o sinal pode variar (por exemplo 1/x tende a 0 vindo de negativo), mas o valor limite é 0.
Aplicando isso aos termos presentes:
\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2}{x^{2}}=0,\qquad \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x}=0,\qquad \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x^{3}}=0.

Passo 5

Como os termos com \dfrac{1}{x^{k}} tendem a 0, ao tomar o limite da expressão do Passo 3 obtemos
\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{5+\dfrac{2}{x^{2}}}{7-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{3}}} = \frac{5+0}{7+0+0} = \frac{5}{7}.
Justificativa breve: pode-se trocar limite e operações porque o denominador no limite não é zero (é 7), então a fração de limites é válida.

Passo 6

Interpretação rápida e dica para prova: quando o numerador e o denominador têm o mesmo grau, o limite quando x\to\pm\infty é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui 5 e 7). Isso evita cálculo longo na hora da prova.

Resposta

\dfrac{5}{7}

Exercícios relacionados