Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas que vamos usar:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - O limite é quando
tende para .
Passo 2
Ideia geral que vou aplicar (a explicação didática vem nos próximos passos): quando se tem uma fração de polinômios e
, os termos de maior grau dominam o comportamento. Aqui ambos (numerador e denominador) têm grau
. Para trabalhar isso de forma algébrica, fatora-se pelo maior poder de
(aqui
) e simplifica-se.
Passo 3
Vamos fatorar
do numerador e do denominador. Primeiro escrevo a fração dividindo cada termo por
:
Observação: esse passo é permitido porque, para
,
, então podemos dividir por
.
Passo 4
Agora analiso os termos com potências negativas de
. Para todo inteiro positivo
vale
Explicação intuitiva: quando
fica muito grande em módulo,
cresce muito, então
fica muito pequeno, tendendo a
. Note que o sinal pode variar (por exemplo
tende a
vindo de negativo), mas o valor limite é
.
Aplicando isso aos termos presentes:
Passo 5
Como os termos com
tendem a
, ao tomar o limite da expressão do Passo 3 obtemos
Justificativa breve: pode-se trocar limite e operações porque o denominador no limite não é zero (é
), então a fração de limites é válida.
Passo 6
Interpretação rápida e dica para prova: quando o numerador e o denominador têm o mesmo grau, o limite quando
é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui
e
). Isso evita cálculo longo na hora da prova.