Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x^{2}+2 x-5}{x^{2}-x+4}=

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^{2}+2x-5}{x^{2}-x+4}.
Informações dadas (explicitadas):
  • O numerador é o polinômio 3x^{2}+2x-5.
  • O denominador é o polinômio x^{2}-x+4.
  • Ambos têm grau 2 (ou seja, o maior expoente de x em cada polinômio é 2).
    A tarefa é calcular o limite quando x tende a +\infty.

Passo 2

Idéia que vamos usar (de forma bem clara): quando x\to+\infty, termos com potências menores de x (por exemplo \dfrac{1}{x}, \dfrac{1}{x^{2}}) ficam cada vez menores e tendem a zero. Formalmente:
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{k}}=0\quad\text{para todo inteiro }k\ge 1.
Explicação rápida por que isso é verdade: se x>0 então 0<\dfrac{1}{x^{k}}<\dfrac{1}{x}, e como \dfrac{1}{x}\to 0 quando x\to+\infty, segue que \dfrac{1}{x^{k}}\to 0 também. Na prática, isso significa que, para limites em infinito, só os termos de maior grau importam — os demais “desaparecem”.

Passo 3

Aplicando a ideia de dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente (aqui é x^{2}). Fazemos a manipulação algébrica:
\frac{3x^{2}+2x-5}{x^{2}-x+4} = \frac{x^{2}\!\left(3+\dfrac{2}{x}-\dfrac{5}{x^{2}}\right)}{x^{2}\!\left(1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x^{2}}\right)} = \frac{3+\dfrac{2}{x}-\dfrac{5}{x^{2}}}{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x^{2}}}.
Aqui cada fração \dfrac{2}{x}, \dfrac{5}{x^{2}}, \dfrac{1}{x}, \dfrac{4}{x^{2}} é do tipo que tende a 0 quando x\to+\infty, segundo o raciocínio do passo anterior.

Passo 4

Tomamos o limite termo a termo (usando propriedades de limites e lembrando que o denominador tende para um número diferente de zero):
\lim_{x\to+\infty}\left(3+\frac{2}{x}-\frac{5}{x^{2}}\right)=3+0-0=3,
\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{1}{x}+\frac{4}{x^{2}}\right)=1-0+0=1.
Como o limite do denominador é 1\neq 0, o limite da razão é a razão dos limites:
\lim_{x\to+\infty}\frac{3+\dfrac{2}{x}-\dfrac{5}{x^{2}}}{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x^{2}}}=\frac{3}{1}.

Passo 5

Interpretação prática/atalho (útil para provas): quando o numerador e o denominador são polinômios do mesmo grau n, o limite quando x\to\pm\infty da razão é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui ambos têm grau 2 e os coeficientes líderes são 3 (no numerador) e 1 (no denominador), então o limite é \dfrac{3}{1}. Exemplo rápido: \lim_{x\to\infty}\dfrac{5x^{3}+1}{2x^{3}-7}=\dfrac{5}{2}.

Resposta

3

Exercícios relacionados