Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas (explicitadas):
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - Ambos têm grau
(ou seja, o maior expoente de em cada polinômio é ).
A tarefa é calcular o limite quandotende a .
Passo 2
Idéia que vamos usar (de forma bem clara): quando
, termos com potências menores de
(por exemplo
,
) ficam cada vez menores e tendem a zero. Formalmente:
Explicação rápida por que isso é verdade: se
então
, e como
quando
, segue que
também. Na prática, isso significa que, para limites em infinito, só os termos de maior grau importam — os demais “desaparecem”.
Passo 3
Aplicando a ideia de dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente (aqui é
). Fazemos a manipulação algébrica:
Aqui cada fração
,
,
,
é do tipo que tende a
quando
, segundo o raciocínio do passo anterior.
Passo 4
Tomamos o limite termo a termo (usando propriedades de limites e lembrando que o denominador tende para um número diferente de zero):
Como o limite do denominador é
, o limite da razão é a razão dos limites:
Passo 5
Interpretação prática/atalho (útil para provas): quando o numerador e o denominador são polinômios do mesmo grau
, o limite quando
da razão é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui ambos têm grau
e os coeficientes líderes são
(no numerador) e
(no denominador), então o limite é
. Exemplo rápido:
.