Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x^{2}+5 x-3}{2 x^{2}-5 x+2}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to1}\frac{2x^{2}+5x-3}{2x^{2}-5x+2}.
Informações dadas:
  • O numerador é o polinômio 2x^{2}+5x-3.
  • O denominador é o polinômio 2x^{2}-5x+2.
  • O ponto de interesse é x=1.
    O que se quer: o valor do limite quando x tende para 1.

Passo 2

Ideia de solução (explicação didática): polinômios são funções contínuas em todos os reais. Isso significa que, para qualquer polinômio p(x),
\lim_{x\to a} p(x)=p(a).
Além disso, se g e h são funções com \lim_{x\to a} g(x)=G e \lim_{x\to a} h(x)=H e H\neq0, então
\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{G}{H}.
Portanto, para uma função racional (quociente de polinômios), se o limite do denominador no ponto não for zero, basta substituir x=a diretamente. Vamos aplicar isso ao caso dado.

Passo 3

Calcular o valor do numerador em x=1. Como polinômios são contínuos, podemos avaliar:
\lim_{x\to1}\bigl(2x^{2}+5x-3\bigr)=2\cdot1^{2}+5\cdot1-3.
Agora calculemos:
2\cdot1^{2}+5\cdot1-3=2+5-3.

Passo 4

Continuando o cálculo do numerador:
2+5-3=4.
Portanto
\lim_{x\to1}\bigl(2x^{2}+5x-3\bigr)=4.

Passo 5

Calcular o valor do denominador em x=1. Novamente por continuidade:
\lim_{x\to1}\bigl(2x^{2}-5x+2\bigr)=2\cdot1^{2}-5\cdot1+2.
Agora calculemos:
2\cdot1^{2}-5\cdot1+2=2-5+2.

Passo 6

Continuando o cálculo do denominador:
2-5+2=-1.
Observação importante: o limite do denominador é -1, que é diferente de zero. Isso permite aplicar a regra do quociente de limites.

Passo 7

Aplicando a regra do quociente:
\lim_{x\to1}\frac{2x^{2}+5x-3}{2x^{2}-5x+2} =\frac{\lim_{x\to1}(2x^{2}+5x-3)}{\lim_{x\to1}(2x^{2}-5x+2)} =\frac{4}{-1}.

Passo 8

Simplificando a fração final:
\frac{4}{-1}=-4.
Pequeno exemplo extra para fixar a ideia: para \lim_{x\to2}\frac{x^{2}-1}{x-3}, basta avaliar numerador em 2 e denominador em 2 (denom. diferente de zero) e obter \dfrac{2^{2}-1}{2-3}=\dfrac{3}{-1}=-3. A mesma lógica usada aqui.

Resposta

-4

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