Calcule os limites.
Passo 1
O enunciado pede calcular
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A expressão envolve
, que só está definida (no conjunto dos números reais) para . Portanto o único sentido que faz sentido aqui é (aproximação pela direita). - Queremos saber se essa fração tende a um número finito, a
ou não existe.
Passo 2
Para simplificar a expressão, fazemos a substituição típica quando aparece
:
Então
. Quando
temos
. Reescrevendo o limite em
:
Passo 3
Reescrevemos
de uma forma que use um limite padrão conhecido:
Agora vamos analisar cada fator quando
.
Passo 4
Fator 1:
. Use a identidade
, então
Conhecemos o limite padrão
(essa é uma limite fundamental: aparece na derivada de
em
e pode ser provado por argumentos geométricos ou pelo desenvolvimento em série). Além disso
é contínua e
, logo
. Portanto
Passo 5
Fator 2:
. Quando
tem-se
Multiplicando os comportamentos dos dois fatores:
tem limite igual a
. Em palavras:
é equivalente a
quando
é muito pequeno, então
se comporta como
, que diverge para
quando
.
Passo 6
Conclusão: o limite não é um número real finito; ele diverge positivamente. Em notação,