Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sqrt{x})}{x}=

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to 0} \frac{\tan\bigl(\sqrt{x}\bigr)}{x}.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A expressão envolve \sqrt{x}, que só está definida (no conjunto dos números reais) para x\ge 0. Portanto o único sentido que faz sentido aqui é x\to 0^+ (aproximação pela direita).
  • Queremos saber se essa fração tende a um número finito, a \pm\infty ou não existe.

Passo 2

Para simplificar a expressão, fazemos a substituição típica quando aparece \sqrt{x}:
t=\sqrt{x}.
Então x=t^2. Quando x\to 0^+ temos t\to 0^+. Reescrevendo o limite em t:
\lim_{x\to 0^+}\frac{\tan(\sqrt{x})}{x} = \lim_{t\to 0^+}\frac{\tan(t)}{t^2}.

Passo 3

Reescrevemos \dfrac{\tan(t)}{t^2} de uma forma que use um limite padrão conhecido:
\frac{\tan(t)}{t^2}=\left(\frac{\tan(t)}{t}\right)\cdot\frac{1}{t}.
Agora vamos analisar cada fator quando t\to 0^+.

Passo 4

Fator 1: \dfrac{\tan(t)}{t}. Use a identidade \tan(t)=\dfrac{\sin(t)}{\cos(t)}, então
\frac{\tan(t)}{t}=\frac{\sin(t)}{t}\cdot\frac{1}{\cos(t)}.
Conhecemos o limite padrão
\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}=1
(essa é uma limite fundamental: aparece na derivada de \sin em 0 e pode ser provado por argumentos geométricos ou pelo desenvolvimento em série). Além disso \cos(t) é contínua e \cos(0)=1, logo \lim_{t\to 0}\frac{1}{\cos(t)}=1. Portanto
\lim_{t\to 0}\frac{\tan(t)}{t}=1.

Passo 5

Fator 2: \dfrac{1}{t}. Quando t\to 0^+ tem-se
\frac{1}{t}\to +\infty.
Multiplicando os comportamentos dos dois fatores:
\frac{\tan(t)}{t^2}=\left(\frac{\tan(t)}{t}\right)\cdot\frac{1}{t}
tem limite igual a 1\cdot(+\infty)=+\infty. Em palavras: \tan(t) é equivalente a t quando t é muito pequeno, então \tan(t)/t^2 se comporta como 1/t, que diverge para +\infty quando t\to 0^+.

Passo 6

Conclusão: o limite não é um número real finito; ele diverge positivamente. Em notação,
\lim_{x\to 0}\frac{\tan(\sqrt{x})}{x}=+\infty.

Resposta

+\infty

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